Triángulos rectángulos: ejercicios resueltos paso a paso

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180°. Por sus lados se clasifica en equilátero, isósceles o escaleno; por sus ángulos, en acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Triángulos

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180°. Por sus lados se clasifica en equilátero, isósceles o escaleno; por sus ángulos, en acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 18 0^{\circ}

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: triángulo rectángulo con a = 3 y b = 4

Método: Razones trigonométricas y Pitágoras

Anotamos los datos
El ángulo recto está en C. El cateto a es opuesto al ángulo α, el cateto b es opuesto a β (y adyacente a α) y c es la hipotenusa.
$a = 3, b = 4$
Calculamos la hipotenusa
Con los dos catetos usamos el teorema de Pitágoras.
$c = 3^{2} + 4^{2} \approx 5$
Calculamos los ángulos
Con los dos catetos usamos la tangente y su función inversa (en la calculadora: SHIFT tan).
$sen α = \frac{opuesto}{hipotenusa}, cos α = \frac{adyacente}{hipotenusa}, tg α = \frac{opuesto}{adyacente}$
$tg α = \frac{3}{4} \Rightarrow α = 36, 869 9^{\circ} \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'} 1 2^{''}$
$β = 9 0^{\circ} - α = 53, 130 1^{\circ} \approx 5 3^{\circ} 7^{'} 4 8^{''}$
Área y perímetro
Los catetos son base y altura del triángulo.
$A = \frac{a \cdot b}{2} \approx 6$
$P = a + b + c \approx 12$
Verificamos
Tiene que cumplirse Pitágoras y los ángulos tienen que sumar 180°.
$a^{2} + b^{2} \approx 25 = c^{2} \approx 25 ✓$
$α + β + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ} ✓$

Resultado

a \approx 3, b \approx 4, c \approx 5, α = 36, 869 9^{\circ}, β = 53, 130 1^{\circ}

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: triángulo rectángulo con hipotenusa c = 10 y α = 30°

Método: Razones trigonométricas y Pitágoras

Anotamos los datos
El ángulo recto está en C. El cateto a es opuesto al ángulo α, el cateto b es opuesto a β (y adyacente a α) y c es la hipotenusa.
$c = 10, α = 3 0^{\circ}$
Calculamos β
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°.
$β = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$
Calculamos los catetos
Conocemos la hipotenusa: el cateto opuesto sale con el seno y el adyacente, con el coseno.
$sen α = \frac{opuesto}{hipotenusa}, cos α = \frac{adyacente}{hipotenusa}, tg α = \frac{opuesto}{adyacente}$
$a = c \cdot sen α = 10 \cdot sen 3 0^{\circ} \approx 5$
$b = c \cdot cos α = 10 \cdot cos 3 0^{\circ} \approx 8, 660254$
Área y perímetro
Los catetos son base y altura del triángulo.
$A = \frac{a \cdot b}{2} \approx 21, 650635$
$P = a + b + c \approx 23, 660254$
Verificamos
Tiene que cumplirse Pitágoras y los ángulos tienen que sumar 180°.
$a^{2} + b^{2} \approx 100 = c^{2} \approx 100 ✓$
$α + β + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ} ✓$

Resultado

a \approx 5, b \approx 8, 660254, c \approx 10, α = 3 0^{\circ}, β = 6 0^{\circ}

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: triángulo rectángulo con cateto b = 5 y β = 60°

Método: Razones trigonométricas y Pitágoras

Anotamos los datos
El ángulo recto está en C. El cateto a es opuesto al ángulo α, el cateto b es opuesto a β (y adyacente a α) y c es la hipotenusa.
$b = 5, β = 6 0^{\circ}$
Calculamos α
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°.
$α = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
Calculamos los otros lados
Conocemos el cateto adyacente a α: con la tangente sale el opuesto y con el coseno, la hipotenusa.
$sen α = \frac{opuesto}{hipotenusa}, cos α = \frac{adyacente}{hipotenusa}, tg α = \frac{opuesto}{adyacente}$
$a = b \cdot tg α = 5 \cdot tg 3 0^{\circ} \approx 2, 886751$
$c = \frac{b}{cos α} = \frac{5}{cos 3 0 ^{\circ}} \approx 5, 773503$
Área y perímetro
Los catetos son base y altura del triángulo.
$A = \frac{a \cdot b}{2} \approx 7, 216878$
$P = a + b + c \approx 13, 660254$
Verificamos
Tiene que cumplirse Pitágoras y los ángulos tienen que sumar 180°.
$a^{2} + b^{2} \approx 33, 333333 = c^{2} \approx 33, 333333 ✓$
$α + β + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ} ✓$

Resultado

a \approx 2, 886751, b \approx 5, c \approx 5, 773503, α = 3 0^{\circ}, β = 6 0^{\circ}

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

El seno es opuesto sobre hipotenusa; el coseno, adyacente sobre hipotenusa: depende del ángulo que mires.
La hipotenusa es siempre el lado más largo.

Triángulos rectángulos: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Triángulos

Teorema de Pitágoras

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: triángulo rectángulo con a = 3 y b = 4

Anotamos los datos

Calculamos la hipotenusa

Calculamos los ángulos

Área y perímetro

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: triángulo rectángulo con hipotenusa c = 10 y α = 30°

Anotamos los datos

Calculamos β

Calculamos los catetos

Área y perímetro

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: triángulo rectángulo con cateto b = 5 y β = 60°

Anotamos los datos

Calculamos α

Calculamos los otros lados

Área y perímetro

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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