Transformaciones: ejercicios resueltos paso a paso

Trasladar, rotar o reflejar mueve la figura sin deformarla (conserva distancias y ángulos). La homotecia la agranda o achica desde un centro. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Transformaciones

Trasladar, rotar o reflejar mueve la figura sin deformarla (conserva distancias y ángulos). La homotecia la agranda o achica desde un centro.

(x; y) \to (x + a; y + b)

¿Para qué el gráfico?

Ver el problema dibujado ayuda a entenderlo y a controlar el resultado: si la cuenta dice una cosa y el dibujo muestra otra, algo anda mal.

dibujo \approx cuenta

Proporciones

Dos razones forman una proporción si son iguales. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: con eso se despeja el valor desconocido.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

Función inversa

La inversa “deshace” lo que hace la función. Al intercambiar x e y, su gráfico es el reflejo del original respecto de la recta y = x.

f (f^{- 1} (x)) = x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: trasladar (1, 2), (3, 2) y (2, 4) con el vector (4, -1)

Método: Traslación

Aplicamos la traslación
Cada punto se mueve con el mismo vector: sumamos sus componentes a las coordenadas.
$Sumamos el vector v = (4; - 1) : (x; y) \to (x + 4; y - 1)$
Punto Imagen
$A = (1; 2)$ $A^{'} = (5; 1)$
$B = (3; 2)$ $B^{'} = (7; 1)$
$C = (2; 4)$ $C^{'} = (6; 3)$
Lo vemos en el gráfico
La figura original está pintada; su imagen, con el borde rojo.
Verificamos
Para comprobar, aplicamos la transformación inversa y tenemos que volver a la figura original.
$A^{'} \to (1; 2), B^{'} \to (3; 2), C^{'} \to (2; 4) ✓$

Punto	Imagen
$A = (1; 2)$	$A^{'} = (5; 1)$
$B = (3; 2)$	$B^{'} = (7; 1)$
$C = (2; 4)$	$C^{'} = (6; 3)$

Resultado

A^{'} = (5; 1), B^{'} = (7; 1), C^{'} = (6; 3)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: rotar (2, 0), (4, 0) y (4, 2) 90°

Método: Rotación

Aplicamos la rotación
Cada punto gira el mismo ángulo alrededor del centro (en sentido antihorario si el ángulo es positivo).
$centro (0; 0), θ = 9 0^{\circ} : x^{'} = h + (x - h) cos θ - (y - k) sen θ, y^{'} = k + (x - h) sen θ + (y - k) cos θ$
Punto Imagen
$A = (2; 0)$ $A^{'} = (0; 2)$
$B = (4; 0)$ $B^{'} = (0; 4)$
$C = (4; 2)$ $C^{'} = (- 2; 4)$
Lo vemos en el gráfico
La figura original está pintada; su imagen, con el borde rojo.
Verificamos
Para comprobar, una rotación conserva las distancias al centro: las comparamos antes y después.
$d (O, A)^{2} = 4 = d (O, A^{'})^{2}, d (O, B)^{2} = 16 = d (O, B^{'})^{2}, d (O, C)^{2} = 20 = d (O, C^{'})^{2} ✓$

Punto	Imagen
$A = (2; 0)$	$A^{'} = (0; 2)$
$B = (4; 0)$	$B^{'} = (0; 4)$
$C = (4; 2)$	$C^{'} = (- 2; 4)$

Resultado

A^{'} = (0; 2), B^{'} = (0; 4), C^{'} = (- 2; 4)

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Ejemplo 3: simetría de (2, 3), (5, 1) respecto del eje x

Método: Simetría axial

Aplicamos la simetría axial
Cada punto se refleja respecto del eje, como en un espejo: el eje es la mediatriz entre el punto y su imagen.
$eje: y = 0 : P^{'} = P - \frac{2 ( A x + B y + C )}{A ^{2} + B ^{2}} (A; B)$
Punto Imagen
$A = (2; 3)$ $A^{'} = (2; - 3)$
$B = (5; 1)$ $B^{'} = (5; - 1)$
Lo vemos en el gráfico
La figura original está pintada; su imagen, con el borde rojo.
Verificamos
Para comprobar, si reflejamos otra vez respecto del mismo eje, volvemos a la figura original.
$A^{'} \to (2; 3), B^{'} \to (5; 1) ✓$

Punto	Imagen
$A = (2; 3)$	$A^{'} = (2; - 3)$
$B = (5; 1)$	$B^{'} = (5; - 1)$

Resultado

A^{'} = (2; - 3), B^{'} = (5; - 1)

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Ejemplo 4: homotecia de (1, 2), (3, 1) y (2, 4) con centro (0, 0) y razón 2

Método: Homotecia

Aplicamos la homotecia
Cada punto se aleja (o se acerca) del centro multiplicando su distancia por la razón k. Si k es negativa, además queda del otro lado del centro.
$O = (0; 0), k = 2 : P^{'} = O + k (P - O)$
Punto Imagen
$A = (1; 2)$ $A^{'} = (2; 4)$
$B = (3; 1)$ $B^{'} = (6; 2)$
$C = (2; 4)$ $C^{'} = (4; 8)$
Lo vemos en el gráfico
La figura original está pintada; su imagen, con el borde rojo.
Verificamos
Para comprobar, las distancias al centro quedan multiplicadas por |k| = 2, y aplicando razón 1/k volvemos a la figura original.
$A^{'} \to (1; 2), B^{'} \to (3; 1), C^{'} \to (2; 4) ✓$

Punto	Imagen
$A = (1; 2)$	$A^{'} = (2; 4)$
$B = (3; 1)$	$B^{'} = (6; 2)$
$C = (2; 4)$	$C^{'} = (4; 8)$

Resultado

A^{'} = (2; 4), B^{'} = (6; 2), C^{'} = (4; 8)

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Ojo con…

Revisá que la calculadora esté en el modo correcto (grados o radianes).
En un triángulo los ángulos suman 180°.

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