Ángulos notables: ejercicios resueltos paso a paso

Los valores de 30°, 45° y 60° salen de un triángulo equilátero partido al medio y de un cuadrado cortado por su diagonal. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Ángulos notables

Los valores de 30°, 45° y 60° salen de un triángulo equilátero partido al medio y de un cuadrado cortado por su diagonal.

sen 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}, tg 6 0^{\circ} = 3

Jerarquía de las operaciones

Primero se resuelven los paréntesis, después potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y por último sumas y restas. Si no respetamos ese orden, la misma cuenta da resultados distintos.

2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14 \neq = 20

Raíces

Una raíz se puede simplificar sacando los factores que tienen exponente igual al índice. Para racionalizar multiplicamos arriba y abajo por lo que hace desaparecer la raíz del denominador.

72 = 36 \cdot 2 = 62

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: sen 30° + cos 60°

Método: Valores exactos de ángulos notables

Escribimos la expresión
Los ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus “parientes” en los otros cuadrantes) tienen valores exactos que conviene saber de memoria o deducir de un triángulo equilátero y de un cuadrado.
$sen 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ}$
Buscamos los valores exactos
Si el ángulo no está en el primer cuadrante, usamos su ángulo de referencia y el signo del cuadrante.
$sen 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Reemplazamos
Ponemos cada valor entre paréntesis y resolvemos respetando la jerarquía de las operaciones.
$(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})$
Calculamos
Operamos con fracciones y raíces (si queda una raíz en el denominador, racionalizamos).
$= 1$
Verificamos
Calculamos todo con decimales, como una calculadora en modo grados.
$sen 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ} \approx 1 ✓$

Resultado

1

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: sen^2 45° + cos^2 45°

Método: Valores exactos de ángulos notables

Escribimos la expresión
Los ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus “parientes” en los otros cuadrantes) tienen valores exactos que conviene saber de memoria o deducir de un triángulo equilátero y de un cuadrado.
$sen^{2} 4 5^{\circ} + cos^{2} 4 5^{\circ}$
Buscamos los valores exactos
Si el ángulo no está en el primer cuadrante, usamos su ángulo de referencia y el signo del cuadrante.
$sen 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$
$cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$
Reemplazamos
Ponemos cada valor entre paréntesis y resolvemos respetando la jerarquía de las operaciones.
$(\frac{2}{2})^{2} + (\frac{2}{2})^{2}$
Calculamos
Operamos con fracciones y raíces (si queda una raíz en el denominador, racionalizamos).
$= 1$
Verificamos
Calculamos todo con decimales, como una calculadora en modo grados.
$sen^{2} 4 5^{\circ} + cos^{2} 4 5^{\circ} \approx 1 ✓$

Resultado

1

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: 2 sen 30° · cos 30°

Método: Valores exactos de ángulos notables

Escribimos la expresión
Los ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus “parientes” en los otros cuadrantes) tienen valores exactos que conviene saber de memoria o deducir de un triángulo equilátero y de un cuadrado.
$2 \cdot sen 3 0^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ}$
Buscamos los valores exactos
Si el ángulo no está en el primer cuadrante, usamos su ángulo de referencia y el signo del cuadrante.
$sen 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
Reemplazamos
Ponemos cada valor entre paréntesis y resolvemos respetando la jerarquía de las operaciones.
$2 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{3}{2})$
Calculamos
Operamos con fracciones y raíces (si queda una raíz en el denominador, racionalizamos).
$= \frac{3}{2}$
Verificamos
Calculamos todo con decimales, como una calculadora en modo grados.
$2 \cdot sen 3 0^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ} \approx 0, 866025 ✓$

Resultado

\frac{3}{2} \approx 0, 866025

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: sen 150° - cos 240° + tg 315°

Método: Valores exactos de ángulos notables

Escribimos la expresión
Los ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus “parientes” en los otros cuadrantes) tienen valores exactos que conviene saber de memoria o deducir de un triángulo equilátero y de un cuadrado.
$sen 15 0^{\circ} - cos 24 0^{\circ} + tg 31 5^{\circ}$
Buscamos los valores exactos
Si el ángulo no está en el primer cuadrante, usamos su ángulo de referencia y el signo del cuadrante.
$sen 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$cos 24 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$tg 31 5^{\circ} = - 1$
Reemplazamos
Ponemos cada valor entre paréntesis y resolvemos respetando la jerarquía de las operaciones.
$(\frac{1}{2}) - (- \frac{1}{2}) + (- 1)$
Calculamos
Operamos con fracciones y raíces (si queda una raíz en el denominador, racionalizamos).
$= 0$
Verificamos
Calculamos todo con decimales, como una calculadora en modo grados.
$sen 15 0^{\circ} - cos 24 0^{\circ} + tg 31 5^{\circ} \approx 0 ✓$

Resultado

0

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

sen 30° = 1/2 y cos 60° = 1/2: no los confundas.
Fijate el signo según el cuadrante.

Ángulos notables: ejercicios resueltos paso a paso

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