Identidades y ecuaciones trigonométricas: ejercicios resueltos paso a paso

Una fracción indica una división: el denominador dice en cuántas partes iguales se divide y el numerador, cuántas se toman. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Fracciones

Una fracción indica una división: el denominador dice en cuántas partes iguales se divide y el numerador, cuántas se toman.

\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0, 75

Sustitución en integrales

Es la regla de la cadena al revés: si aparece una función y su derivada, la llamamos u y la integral se simplifica.

\int 2 x cos (x^{2}) d x = \int cos u d u

Fórmula resolvente

Sale de completar cuadrados en ax² + bx + c = 0. El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Función inversa

La inversa “deshace” lo que hace la función. Al intercambiar x e y, su gráfico es el reflejo del original respecto de la recta y = x.

f (f^{- 1} (x)) = x

Definición de derivada

La derivada es la pendiente de la recta tangente: el límite de las pendientes de rectas secantes cuando los puntos se acercan.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Simplificar

Dividir numerador y denominador por un mismo número (distinto de 0) no cambia el valor de la fracción: es como cortar la torta en porciones más grandes.

\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: tg x · cos x = sen x

Método: Reducción a senos y cosenos

Escribimos la identidad
Una identidad tiene que valer para todos los ángulos donde las expresiones existen. Para demostrarla, transformamos hasta que los dos miembros queden iguales.
$tg x cos x = sen x$
Pasamos todo a senos y cosenos
Usamos las definiciones: $tg x = \frac{sen x}{c o s x}$ , $cotg x = \frac{c o s x}{sen x}$ , $sec x = \frac{1}{c o s x}$ y $cosec x = \frac{1}{sen x}$ , y operamos las fracciones.
$1.° miembro: \frac{cos x sen x}{cos x}$
$2.° miembro: sen x$
Restamos los dos miembros
Si la identidad es cierta, el primer miembro menos el segundo tiene que dar 0. Multiplicamos en cruz para sacar los denominadores.
$cos x sen x - (cos x sen x) = 0$
Usamos la identidad pitagórica
Reemplazamos $sen^{2} x$ por $1 - cos^{2} x$ (porque $sen^{2} x + cos^{2} x = 1$ ) y simplificamos.
$0 = 0$
Verificamos
Dio 0: la igualdad es una identidad. Lo comprobamos con algunos ángulos.
$x = 2 3^{\circ} : 0, 390731 = 0, 390731 ✓$
$x = 5 1^{\circ} : 0, 777146 = 0, 777146 ✓$
$x = 13 7^{\circ} : 0, 681998 = 0, 681998 ✓$

Resultado

Es una identidad

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: demostrar que sec^2 x - tg^2 x = 1

Método: Reducción a senos y cosenos

Escribimos la identidad
Una identidad tiene que valer para todos los ángulos donde las expresiones existen. Para demostrarla, transformamos hasta que los dos miembros queden iguales.
$sec^{2} x - tg^{2} x = 1$
Pasamos todo a senos y cosenos
Usamos las definiciones: $tg x = \frac{sen x}{c o s x}$ , $cotg x = \frac{c o s x}{sen x}$ , $sec x = \frac{1}{c o s x}$ y $cosec x = \frac{1}{sen x}$ , y operamos las fracciones.
$1.° miembro: \frac{- sen ^{2} x + 1}{cos ^{2} x}$
$2.° miembro: 1$
Restamos los dos miembros
Si la identidad es cierta, el primer miembro menos el segundo tiene que dar 0. Multiplicamos en cruz para sacar los denominadores.
$- sen^{2} x + 1 - (cos^{2} x) = - cos^{2} x - sen^{2} x + 1$
Usamos la identidad pitagórica
Reemplazamos $sen^{2} x$ por $1 - cos^{2} x$ (porque $sen^{2} x + cos^{2} x = 1$ ) y simplificamos.
$- cos^{2} x - sen^{2} x + 1 = 0$
Verificamos
Dio 0: la igualdad es una identidad. Lo comprobamos con algunos ángulos.
$x = 2 3^{\circ} : 1 = 1 ✓$
$x = 5 1^{\circ} : 1 = 1 ✓$
$x = 13 7^{\circ} : 1 = 1 ✓$

Resultado

Es una identidad

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Ejemplo 3: 2 sen x - 1 = 0

Método: Cambio de variable

Escribimos la ecuación
Buscamos los ángulos x entre 0° y 360° que cumplen la igualdad (después agregamos las vueltas completas).
$2 sen x - 1 = 0$
Pasamos todo a senos y cosenos
Escribimos todo en función de seno y coseno y pasamos todo a un miembro (multiplicando en cruz si hay denominadores).
$2 sen x - 1 = 0$
Hacemos un cambio de variable
Llamamos $t = sen x$ y resolvemos la ecuación en t.
$2 t - 1 = 0$
Encontramos los valores de t
Resolvemos la ecuación polinómica (con la resolvente si es de segundo grado).
$t_{1} = \frac{1}{2}$
Buscamos los ángulos
Para cada valor buscamos los ángulos entre 0° y 360° (con la función inversa y los cuadrantes donde sen tiene ese signo).
$sen x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$
Verificamos
Reemplazamos cada ángulo en la ecuación original (y descartamos los que anulan algún denominador).
$x = 3 0^{\circ} : - 1, 1102 \cdot 1 0^{- 16} = 0 ✓$
$x = 15 0^{\circ} : - 1, 1102 \cdot 1 0^{- 16} = 0 ✓$

Resultado

x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ} (+ k \cdot 36 0^{\circ})

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Ejemplo 4: 2 cos^2 x - cos x - 1 = 0

Método: Cambio de variable

Escribimos la ecuación
Buscamos los ángulos x entre 0° y 360° que cumplen la igualdad (después agregamos las vueltas completas).
$2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$
Pasamos todo a senos y cosenos
Escribimos todo en función de seno y coseno y pasamos todo a un miembro (multiplicando en cruz si hay denominadores).
$2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$
Hacemos un cambio de variable
Llamamos $t = cos x$ y resolvemos la ecuación en t.
$2 t^{2} - t - 1 = 0$
Encontramos los valores de t
Resolvemos la ecuación polinómica (con la resolvente si es de segundo grado).
$t_{1} = 1$
$t_{2} = - \frac{1}{2}$
Buscamos los ángulos
Para cada valor buscamos los ángulos entre 0° y 360° (con la función inversa y los cuadrantes donde cos tiene ese signo).
$cos x = 1 \Rightarrow x = 0^{\circ}$
$cos x = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = 12 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$
Verificamos
Reemplazamos cada ángulo en la ecuación original (y descartamos los que anulan algún denominador).
$x = 0^{\circ} : 0 = 0 ✓$
$x = 12 0^{\circ} : - 6, 6613 \cdot 1 0^{- 16} = 0 ✓$
$x = 24 0^{\circ} : 1, 3323 \cdot 1 0^{- 15} = 0 ✓$

Resultado

x = 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 24 0^{\circ} (+ k \cdot 36 0^{\circ})

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 5: 2 sen^2 x + 3 cos x - 3 = 0

Método: Cambio de variable

Escribimos la ecuación
Buscamos los ángulos x entre 0° y 360° que cumplen la igualdad (después agregamos las vueltas completas).
$2 sen^{2} x + 3 cos x - 3 = 0$
Pasamos todo a senos y cosenos
Escribimos todo en función de seno y coseno y pasamos todo a un miembro (multiplicando en cruz si hay denominadores).
$2 sen^{2} x + 3 cos x - 3 = 0$
Dejamos una sola función
Como el seno aparece al cuadrado, usamos $sen^{2} x = 1 - cos^{2} x$ para que quede todo en coseno.
$- 2 cos^{2} x + 3 cos x - 1 = 0$
Hacemos un cambio de variable
Llamamos $t = cos x$ y resolvemos la ecuación en t.
$- 2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$
Encontramos los valores de t
Resolvemos la ecuación polinómica (con la resolvente si es de segundo grado).
$t_{1} = \frac{1}{2}$
$t_{2} = 1$
Buscamos los ángulos
Para cada valor buscamos los ángulos entre 0° y 360° (con la función inversa y los cuadrantes donde cos tiene ese signo).
$cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 6 0^{\circ}, 30 0^{\circ}$
$cos x = 1 \Rightarrow x = 0^{\circ}$
Verificamos
Reemplazamos cada ángulo en la ecuación original (y descartamos los que anulan algún denominador).
$x = 0^{\circ} : 0 = 0 ✓$
$x = 6 0^{\circ} : 0 = 0 ✓$
$x = 30 0^{\circ} : 0 = 0 ✓$

Resultado

x = 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 30 0^{\circ} (+ k \cdot 36 0^{\circ})

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Ojo con…

Para demostrar una identidad no se pasan términos de un miembro al otro: se trabaja cada lado.
En una ecuación trigonométrica buscá todas las soluciones de la vuelta (0° a 360°).

Identidades y ecuaciones trigonométricas: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Fracciones

Sustitución en integrales

Fórmula resolvente

Función inversa

Definición de derivada

Simplificar

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: tg x · cos x = sen x

Escribimos la identidad

Pasamos todo a senos y cosenos

Restamos los dos miembros

Usamos la identidad pitagórica

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: demostrar que sec^2 x - tg^2 x = 1

Escribimos la identidad

Pasamos todo a senos y cosenos

Restamos los dos miembros

Usamos la identidad pitagórica

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: 2 sen x - 1 = 0

Escribimos la ecuación

Pasamos todo a senos y cosenos

Hacemos un cambio de variable

Encontramos los valores de t

Buscamos los ángulos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: 2 cos^2 x - cos x - 1 = 0

Escribimos la ecuación

Pasamos todo a senos y cosenos

Hacemos un cambio de variable

Encontramos los valores de t

Buscamos los ángulos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: 2 sen^2 x + 3 cos x - 3 = 0

Escribimos la ecuación

Pasamos todo a senos y cosenos

Dejamos una sola función

Hacemos un cambio de variable

Encontramos los valores de t

Buscamos los ángulos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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