Forma trigonométrica de los complejos: ejercicios resueltos paso a paso

Un complejo se puede ver como un punto del plano: su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo. Al multiplicar se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Complejos en forma polar

Un complejo se puede ver como un punto del plano: su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo. Al multiplicar se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sen n θ)

Números complejos

La unidad imaginaria cumple i² = −1. Con eso se opera como con binomios; para dividir se multiplica por el conjugado del denominador.

(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}

Sustitución trigonométrica

Las raíces de la forma √(a² − x²) son un lado de un triángulo rectángulo: con x = a·sen θ, la identidad pitagórica hace desaparecer la raíz.

a^{2} - a^{2} sen^{2} θ = a cos θ

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Ecuación de la circunferencia

Todos sus puntos están a la misma distancia (el radio) del centro: aplicando la fórmula de distancia se obtiene la ecuación canónica.

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: forma trigonométrica de 1 + i

Método: Pasaje a forma trigonométrica

Ubicamos el número en el plano
Un complejo a + bi es el punto (a ; b). Su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo con el semieje real positivo.
$z = 1 + i$
Calculamos módulo y argumento
El módulo sale con Pitágoras. El argumento con la tangente (b/a), mirando en qué cuadrante está el punto.
$r = 1^{2} + 1^{2} = 2 = 2$
$θ = 4 5^{\circ}$
Escribimos la forma trigonométrica
z = r·(cos θ + i sen θ). En forma polar abreviada: r con el ángulo como subíndice.
$z = 2 (cos 4 5^{\circ} + i sen 4 5^{\circ})$
$z = 2_{4 5^{\circ}}$
Verificamos
Volvemos a forma binómica: a = r·cos θ y b = r·sen θ.
$2 (cos 4 5^{\circ} + i sen 4 5^{\circ}) = 1 + i ✓$

Resultado

2 (cos 4 5^{\circ} + i sen 4 5^{\circ})

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: (1 + i)^8

Método: Fórmula de De Moivre

Ubicamos el número en el plano
Un complejo a + bi es el punto (a ; b). Su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo con el semieje real positivo.
$z = 1 + i$
Calculamos módulo y argumento
El módulo sale con Pitágoras. El argumento con la tangente (b/a), mirando en qué cuadrante está el punto.
$r = 1^{2} + 1^{2} = 2 = 2$
$θ = 4 5^{\circ}$
Escribimos la forma trigonométrica
z = r·(cos θ + i sen θ). En forma polar abreviada: r con el ángulo como subíndice.
$z = 2 (cos 4 5^{\circ} + i sen 4 5^{\circ})$
$z = 2_{4 5^{\circ}}$
Aplicamos la fórmula de De Moivre
Para elevar a la n: el módulo se eleva a la n y el argumento se multiplica por n (después lo llevamos a una vuelta).
$z^{8} = (2)^{8} (cos (8 \cdot 4 5^{\circ}) + i sen (8 \cdot 4 5^{\circ}))$
$z^{8} = 16 (cos 0^{\circ} + i sen 0^{\circ}) = 16$
Verificamos
Calculamos la potencia multiplicando en forma binómica.
$(1 + i)^{8} = 16 ✓$

Resultado

z^{8} = 16

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Ejemplo 3: raíces cúbicas de 8i

Método: Raíces n-ésimas

Ubicamos el número en el plano
Un complejo a + bi es el punto (a ; b). Su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo con el semieje real positivo.
$z = 8 i$
Calculamos módulo y argumento
El módulo sale con Pitágoras. El argumento con la tangente (b/a), mirando en qué cuadrante está el punto.
$r = 0^{2} + 8^{2} = 64 = 8$
$θ = 9 0^{\circ}$
Escribimos la forma trigonométrica
z = r·(cos θ + i sen θ). En forma polar abreviada: r con el ángulo como subíndice.
$z = 8 (cos 9 0^{\circ} + i sen 9 0^{\circ})$
$z = 8_{9 0^{\circ}}$
Aplicamos la fórmula de las raíces
Las raíces 3-ésimas tienen módulo $n r$ y argumentos $\frac{θ + 36 0 ^{\circ} k}{n}$ con k = 0, 1, …, n − 1. Quedan repartidas en una circunferencia, separadas 120°.
$w_{0} = 2_{3 0^{\circ}} = 3 + i$
$w_{1} = 2_{15 0^{\circ}} = - 3 + i$
$w_{2} = 2_{27 0^{\circ}} = - 2 i$
Verificamos
Elevamos la primera raíz a la 3: tiene que dar el número original.
$w_{0}^{3} \approx 2, 2204 \cdot 1 0^{- 15} + 8 i = 8 i ✓$

Resultado

w_{0} = 3 + i, w_{1} = - 3 + i, w_{2} = - 2 i

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Ejemplo 4: producto de 2(cos 30° + i sen 30°) y 3(cos 60° + i sen 60°)

Método: Producto en forma trigonométrica

Escribimos los números en forma trigonométrica
Cada uno tiene su módulo r y su argumento θ.
$z_{1} = 2 (cos 3 0^{\circ} + i sen 3 0^{\circ})$
$z_{2} = 3 (cos 6 0^{\circ} + i sen 6 0^{\circ})$
Multiplicamos
Para multiplicar en forma trigonométrica se multiplican los módulos y se suman los argumentos.
$z_{1} \cdot z_{2} = 6 (cos 9 0^{\circ} + i sen 9 0^{\circ})$
Verificamos
Pasamos todo a forma binómica y hacemos la cuenta de la manera común: tiene que dar lo mismo.
$6 i \approx 1, 3323 \cdot 1 0^{- 15} + 6 i ✓$

Resultado

6 (cos 9 0^{\circ} + i sen 9 0^{\circ}) = 6 i

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Ojo con…

Revisá que la calculadora esté en el modo correcto (grados o radianes).
En un triángulo los ángulos suman 180°.

Forma trigonométrica de los complejos: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Complejos en forma polar

Números complejos

Sustitución trigonométrica

Teorema de Pitágoras

Ecuación de la circunferencia

Propiedades de las potencias

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: forma trigonométrica de 1 + i

Ubicamos el número en el plano

Calculamos módulo y argumento

Escribimos la forma trigonométrica

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: (1 + i)^8

Ubicamos el número en el plano

Calculamos módulo y argumento

Escribimos la forma trigonométrica

Aplicamos la fórmula de De Moivre

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: raíces cúbicas de 8i

Ubicamos el número en el plano

Calculamos módulo y argumento

Escribimos la forma trigonométrica

Aplicamos la fórmula de las raíces

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: producto de 2(cos 30° + i sen 30°) y 3(cos 60° + i sen 60°)

Escribimos los números en forma trigonométrica

Multiplicamos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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