Gráficas trigonométricas: ejercicios resueltos paso a paso

Donde la función pasa de crecer a decrecer la tangente es horizontal (f′ = 0): ahí hay un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, un mínimo. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Máximos y mínimos

Donde la función pasa de crecer a decrecer la tangente es horizontal (f′ = 0): ahí hay un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, un mínimo.

f^{'} (x) = 0 y cambio de signo de f^{'}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: y = 2 sen(3x - π/2) + 1

Método: Parámetros de la función

Identificamos los parámetros
Comparamos con y = A·sen(Bx + C) + D.
$A = 2, B = 3, C = - \frac{1}{2} π, D = 1$
Calculamos amplitud, período y desplazamientos
La amplitud es cuánto sube y baja la curva desde su eje; el período es cada cuánto se repite; C corre la curva a izquierda o derecha y D la sube o la baja.
$amplitud = ∣ A ∣ = 2$
$per \overset{ı}{ˊ} odo = \frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2}{3} π$
$desplazamiento horizontal = - \frac{C}{B} = \frac{1}{6} π$
$desplazamiento vertical = D = 1$
$imagen = [- 1; 3]$
Armamos una tabla con los puntos clave
Dividimos un período en 4 partes iguales: ahí la curva pasa por su eje, sus máximos y sus mínimos.
x y
$\frac{1}{6} π$ $1$
$\frac{1}{3} π$ $3$
$\frac{1}{2} π$ $1$
$\frac{2}{3} π$ $- 1$
$\frac{5}{6} π$ $1$
Graficamos
Unimos los puntos clave con la forma de la curva y repetimos cada período.
Verificamos
Si el período es correcto, la función tiene que dar lo mismo en x y en x + período.
$f (0, 37) \approx 0, 110677, f (0, 37 + \frac{2}{3} π) \approx 0, 110677 ✓$

x	y
$\frac{1}{6} π$	$1$
$\frac{1}{3} π$	$3$
$\frac{1}{2} π$	$1$
$\frac{2}{3} π$	$- 1$
$\frac{5}{6} π$	$1$

Resultado

amplitud = 2, T = \frac{2}{3} π

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: y = -cos(x/2)

Método: Parámetros de la función

Identificamos los parámetros
Comparamos con y = A·cos(Bx + C) + D.
$A = - 1, B = \frac{1}{2}, C = 0, D = 0$
Calculamos amplitud, período y desplazamientos
La amplitud es cuánto sube y baja la curva desde su eje; el período es cada cuánto se repite; C corre la curva a izquierda o derecha y D la sube o la baja. Como A es negativo, la curva se refleja respecto de su eje.
$amplitud = ∣ A ∣ = 1$
$per \overset{ı}{ˊ} odo = \frac{2 π}{∣ B ∣} = 4 π$
$desplazamiento horizontal = - \frac{C}{B} = 0$
$desplazamiento vertical = D = 0$
$imagen = [- 1; 1]$
Armamos una tabla con los puntos clave
Dividimos un período en 4 partes iguales: ahí la curva pasa por su eje, sus máximos y sus mínimos.
x y
$0$ $- 1$
$π$ $- 6, 1232 \cdot 1 0^{- 17}$
$2 π$ $1$
$3 π$ $1, 837 \cdot 1 0^{- 16}$
$4 π$ $- 1$
Graficamos
Unimos los puntos clave con la forma de la curva y repetimos cada período.
Verificamos
Si el período es correcto, la función tiene que dar lo mismo en x y en x + período.
$f (0, 37) \approx - 0, 982936, f (0, 37 + 4 π) \approx - 0, 982936 ✓$

x	y
$0$	$- 1$
$π$	$- 6, 1232 \cdot 1 0^{- 17}$
$2 π$	$1$
$3 π$	$1, 837 \cdot 1 0^{- 16}$
$4 π$	$- 1$

Resultado

amplitud = 1, T = 4 π

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: y = tg(2x)

Método: Parámetros de la función

Identificamos los parámetros
Comparamos con y = A·tg(Bx + C) + D.
$A = 1, B = 2, C = 0, D = 0$
Calculamos amplitud, período y desplazamientos
La tangente no tiene amplitud (crece sin límite). el período es cada cuánto se repite; C corre la curva a izquierda o derecha y D la sube o la baja.
$per \overset{ı}{ˊ} odo = \frac{π}{∣ B ∣} = \frac{1}{2} π$
$desplazamiento horizontal = - \frac{C}{B} = 0$
$desplazamiento vertical = D = 0$
Armamos una tabla con los puntos clave
Tomamos un período a partir del desplazamiento: en el inicio la tangente vale D y en la mitad del período hay una asíntota.
x y
$0$ $0$
$\frac{1}{8} π$ $1$
$\frac{1}{4} π$ asíntota
$\frac{3}{8} π$ $- 1$
$\frac{1}{2} π$ $- 1, 2246 \cdot 1 0^{- 16}$
Graficamos
Unimos los puntos clave con la forma de la curva y repetimos cada período.
Verificamos
Si el período es correcto, la función tiene que dar lo mismo en x y en x + período.
$f (0, 37) \approx 0, 91309, f (0, 37 + \frac{1}{2} π) \approx 0, 91309 ✓$

x	y
$0$	$0$
$\frac{1}{8} π$	$1$
$\frac{1}{4} π$	asíntota
$\frac{3}{8} π$	$- 1$
$\frac{1}{2} π$	$- 1, 2246 \cdot 1 0^{- 16}$

Resultado

T = \frac{1}{2} π

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Revisá que la calculadora esté en el modo correcto (grados o radianes).
En un triángulo los ángulos suman 180°.

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Conceptos clave

Máximos y mínimos

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: y = 2 sen(3x - π/2) + 1

Identificamos los parámetros

Calculamos amplitud, período y desplazamientos

Armamos una tabla con los puntos clave

Graficamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: y = -cos(x/2)

Identificamos los parámetros

Calculamos amplitud, período y desplazamientos

Armamos una tabla con los puntos clave

Graficamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: y = tg(2x)

Identificamos los parámetros

Calculamos amplitud, período y desplazamientos

Armamos una tabla con los puntos clave

Graficamos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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