Sistemas de ecuaciones: ejercicios resueltos paso a paso

Con operaciones entre ecuaciones se anulan incógnitas hasta que la última ecuación tiene una sola; después se despeja de abajo hacia arriba. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Sistemas escalonados (Gauss)

Con operaciones entre ecuaciones se anulan incógnitas hasta que la última ecuación tiene una sola; después se despeja de abajo hacia arriba.

compatible determinado: una soluci \overset{o}{ˊ} n

Método de reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números convenientes para que, al sumarlas, una incógnita se cancele.

(x + y = 5) + (x - y = 1) \Rightarrow 2 x = 6

Método de sustitución

Despejamos una incógnita en una ecuación y la reemplazamos en la otra: queda una ecuación con una sola incógnita.

y = 7 - 2 x \Rightarrow x - (7 - 2 x) = 2

Simplificar

Dividir numerador y denominador por un mismo número (distinto de 0) no cambia el valor de la fracción: es como cortar la torta en porciones más grandes.

\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

Despejar

En una igualdad podemos hacer lo mismo de los dos lados sin que deje de ser cierta. “Pasar restando” es en realidad restar lo mismo en ambos miembros.

2 x + 3 = 11 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

Propiedad distributiva

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis.

3 (x + 2) = 3 x + 6

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 2x + y = 7; x - y = 2

Método: Sustitución

Escribimos el sistema
Es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Numeramos las ecuaciones para nombrarlas. Si hacía falta, pasamos las incógnitas a la izquierda, sacamos fracciones y simplificamos.
${2 x + y = 7 x - y = 2$
${2 x + y = 7 (1) x - y = 2 (2)$
Despejamos y
Método de sustitución: despejamos y de la ecuación (1), que tiene coeficiente ±1 y así evitamos fracciones, y la reemplazamos en la otra.
$y = - 2 x + 7$
Reemplazamos en la otra ecuación
En la ecuación (2) cambiamos y por la expresión entre paréntesis, aplicamos distributiva y juntamos los términos con x.
$x - 1 \cdot (- 2 x + 7) = 2$
$3 x = 9$
Calculamos x y y
Despejamos x y lo reemplazamos en la expresión que teníamos de y.
$x = 3$
$y = - 2 \cdot 3 + 7 = 1$
Verificamos
Reemplazamos los valores en cada ecuación original: en todas se tiene que cumplir la igualdad.
$2 \cdot 3 + 1 = 7 = 7 ✓$
$3 - 1 = 2 = 2 ✓$
Clasificamos el sistema
Tiene una única solución: es compatible determinado. En el gráfico, las dos rectas se cortan en un solo punto.
$x = 3, y = 1$

Resultado

x = 3, y = 1

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: x + y + z = 6; 2x - y + z = 3; x + 2y - z = 2

Método: Reducción (método de Gauss)

Escribimos el sistema
Es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Numeramos las ecuaciones para nombrarlas. Si hacía falta, pasamos las incógnitas a la izquierda, sacamos fracciones y simplificamos.
$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 2 x - y + z = 3 x + 2 y - z = 2$
$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 (1) 2 x - y + z = 3 (2) x + 2 y - z = 2 (3)$
Eliminamos x
Usamos la ecuación (1) para que x desaparezca de las de abajo: le restamos a cada una un múltiplo de esa ecuación.
$(4) = (2) - (2) \cdot (1) : - 3 y - z = - 9$
$(5) = (3) - (1) \cdot (1) : y - 2 z = - 4$
Eliminamos y
Usamos la ecuación (4) para que y desaparezca de las de abajo: le restamos a cada una un múltiplo de esa ecuación.
$(6) = (5) - (- \frac{1}{3}) \cdot (4) : - \frac{7}{3} z = - 7$
Sistema escalonado
Cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Resolvemos de abajo hacia arriba.
$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 (1) - 3 y - z = - 9 (4) - \frac{7}{3} z = - 7 (6)$
Sustituimos hacia arriba
Con el valor de la última incógnita vamos reemplazando en las ecuaciones de arriba.
$z = 3$
$y = 2$
$x = 1$
Verificamos
Reemplazamos los valores en cada ecuación original: en todas se tiene que cumplir la igualdad.
$1 + 2 + 3 = 6 = 6 ✓$
$2 \cdot 1 - 2 + 3 = 3 = 3 ✓$
$1 + 2 \cdot 2 - 3 = 2 = 2 ✓$
Clasificamos el sistema
Tiene una única solución: es compatible determinado.
$x = 1, y = 2, z = 3$

Resultado

x = 1, y = 2, z = 3

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: x + y = 3; 2x + 2y = 10

Método: Sustitución

Escribimos el sistema
Es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Numeramos las ecuaciones para nombrarlas. Si hacía falta, pasamos las incógnitas a la izquierda, sacamos fracciones y simplificamos.
${x + y = 3 2 x + 2 y = 10$
${x + y = 3 (1) x + y = 5 (2)$
Despejamos y
Método de sustitución: despejamos y de la ecuación (1), que tiene coeficiente ±1 y así evitamos fracciones, y la reemplazamos en la otra.
$y = - x + 3$
Reemplazamos en la otra ecuación
En la ecuación (2) cambiamos y por la expresión entre paréntesis, aplicamos distributiva y juntamos los términos con x.
$x + 1 \cdot (- x + 3) = 5$
$0 x = 2$
Verificamos
Multiplicamos la ecuación (1) por 1: el primer miembro queda igual al de la (2), pero el segundo miembro no, así que las dos ecuaciones se contradicen.
$(x + y = 3) \cdot 1 \Rightarrow x + y = 3 vs. x + y = 5 ✓$
Clasificamos el sistema
Llegamos a una igualdad falsa: no hay valores que cumplan todas las ecuaciones. Es un sistema incompatible.
$igualdad falsa$

Resultado

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n (incompatible)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Reemplazá la incógnita despejada en la OTRA ecuación, no en la misma.
Verificá la solución en las dos ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Sistemas escalonados (Gauss)

Método de reducción

Método de sustitución

Simplificar

Despejar

Propiedad distributiva

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 2x + y = 7; x - y = 2

Escribimos el sistema

Despejamos y

Reemplazamos en la otra ecuación

Calculamos x y y

Verificamos

Clasificamos el sistema

Resultado

Ejemplo 2: x + y + z = 6; 2x - y + z = 3; x + 2y - z = 2

Escribimos el sistema

Eliminamos x

Eliminamos y

Sistema escalonado

Sustituimos hacia arriba

Verificamos

Clasificamos el sistema

Resultado

Ejemplo 3: x + y = 3; 2x + 2y = 10

Escribimos el sistema

Despejamos y

Reemplazamos en la otra ecuación

Verificamos

Clasificamos el sistema

Resultado

Ojo con…

Más temas de Álgebra