Logaritmos: ejercicios resueltos paso a paso

El logaritmo responde: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener el número? Sus propiedades convierten productos en sumas y potencias en productos. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Logaritmos

El logaritmo responde: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener el número? Sus propiedades convierten productos en sumas y potencias en productos.

lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y, lo g_{b} x^{n} = n lo g_{b} x

Complejos en forma polar

Un complejo se puede ver como un punto del plano: su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo. Al multiplicar se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sen n θ)

Aproximación lineal

Cerca de un punto, la curva y su recta tangente casi coinciden: por eso se puede aproximar f(a + Δx) con f(a) + f′(a)·Δx.

4, 1 \approx 2 + \frac{1}{4} \cdot 0, 1 = 2, 025

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Despejar

En una igualdad podemos hacer lo mismo de los dos lados sin que deje de ser cierta. “Pasar restando” es en realidad restar lo mismo en ambos miembros.

2 x + 3 = 11 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: desarrollar log(x^2·y/z)

Método: Propiedades de los logaritmos

Escribimos el logaritmo
Vamos a usar las propiedades: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, el de un cociente es la resta, y el de una potencia baja el exponente multiplicando.
$lo g (\frac{x ^{2} \cdot y}{z})$
Separamos productos y cocientes
Cada factor que multiplica suma su logaritmo y cada factor que divide lo resta. Las raíces son potencias de exponente fraccionario.
$= lo g (x^{2}) + lo g (y) - lo g (z)$
Bajamos los exponentes
El exponente de cada factor pasa a multiplicar al logaritmo. Si algún logaritmo es exacto (por ejemplo, el de una potencia de la base), lo calculamos.
$= 2 lo g (x) + lo g (y) - lo g (z)$
Verificamos
Reemplazamos las letras por números positivos y calculamos con la calculadora las dos expresiones.
$x = 2, y = 3, z = 5 : 0, 380211 = 0, 380211 ✓$

Resultado

2 lo g (x) + lo g (y) - lo g (z)

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Ejemplo 2: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3

Método: Propiedades y definición de logaritmo

Escribimos la ecuación
En una ecuación logarítmica la incógnita está dentro de un logaritmo.
$lo g_{2} (x) + lo g_{2} (x - 2) = 3$
Condiciones de existencia
Solo existe el logaritmo de números positivos: todo lo que está adentro de cada logaritmo tiene que ser mayor que 0. Lo revisamos al final.
$(x) > 0, (x - 2) > 0$
Juntamos en un solo logaritmo
Pasamos los logaritmos de un lado y los números del otro. La suma de logaritmos es el logaritmo del producto, la resta es el del cociente, y un número adelante pasa como exponente.
$lo g_{2} ((x) \cdot (x - 2)) = 3$
Usamos la definición de logaritmo
$lo g_{b} A = c$ significa que $A = b^{c}$ . Así desaparece el logaritmo y queda una ecuación polinómica.
$(x) \cdot (x - 2) = 2^{3} = 8$
$x^{2} - 2 x = 8$
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
Resolvemos
Resolvemos la ecuación que quedó.
$x_{1} = 4$
$x_{2} = - 2$
Verificamos (y revisamos las condiciones)
Descartamos las soluciones que hacen negativo o cero algún argumento. Las que quedan las reemplazamos en la ecuación original.
$x = 4 : 3 = 3 ✓$
$x = - 2 : no sirve (alg \overset{u}{ˊ} n argumento queda \leq 0)$

Resultado

x = 4

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Ejemplo 3: 2^(x+1) = 32

Método: Igualación de bases

Escribimos la ecuación
Es una ecuación exponencial: la incógnita está en el exponente.
$2^{x + 1} = 32$
Escribimos todo con la misma base
Escribimos las dos bases como potencias de 2. Si las bases son iguales, los exponentes también tienen que ser iguales.
$2^{(x + 1)} = 2^{5}$
Igualamos los exponentes
Queda una ecuación sin potencias.
$x + 1 = 5$
Despejamos
$x = 4$
Verificamos
Reemplazamos en la ecuación original.
$2^{4 + 1} = 32 = 32 ✓$

Resultado

x = 4

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Ejemplo 4: 3^x = 7

Método: Aplicando logaritmos

Escribimos la ecuación
Es una ecuación exponencial: la incógnita está en el exponente.
$3^{x} = 7$
Aplicamos logaritmo en los dos miembros
No se pueden escribir con la misma base, así que tomamos logaritmo y bajamos el exponente con la propiedad de la potencia.
$(x) \cdot ln 3 = (1) \cdot ln 7$
Despejamos
Dividimos por el número que multiplica a la incógnita.
$x = \frac{1 , 94591}{1 , 098612} \approx 1, 771244$
Verificamos
Reemplazamos el valor aproximado.
$7 \approx 7 ✓$

Resultado

x \approx 1, 771244

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Ojo con…

log(a + b) no es log a + log b; lo que vale es log(a · b) = log a + log b.
El argumento de un logaritmo tiene que ser positivo: verificá las soluciones.

Logaritmos: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Logaritmos

Complejos en forma polar

Aproximación lineal

Propiedades de las potencias

Despejar

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: desarrollar log(x^2·y/z)

Escribimos el logaritmo

Separamos productos y cocientes

Bajamos los exponentes

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3

Escribimos la ecuación

Condiciones de existencia

Juntamos en un solo logaritmo

Usamos la definición de logaritmo

Resolvemos

Verificamos (y revisamos las condiciones)

Resultado

Ejemplo 3: 2^(x+1) = 32

Escribimos la ecuación

Escribimos todo con la misma base

Igualamos los exponentes

Despejamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: 3^x = 7

Escribimos la ecuación

Aplicamos logaritmo en los dos miembros

Despejamos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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