Progresiones: ejercicios resueltos paso a paso

En una progresión aritmética cada término se obtiene sumando siempre lo mismo (d); en una geométrica, multiplicando siempre por lo mismo (r). Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Progresiones

En una progresión aritmética cada término se obtiene sumando siempre lo mismo (d); en una geométrica, multiplicando siempre por lo mismo (r).

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}

Proporciones

Dos razones forman una proporción si son iguales. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: con eso se despeja el valor desconocido.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

Media

Es el punto de equilibrio de los datos: si los datos fueran pesas sobre una regla, la media es donde la regla queda en equilibrio.

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 3, 7, 11, 15, ...

Método: Progresión aritmética

Miramos cómo cambian los términos
Si siempre se suma lo mismo, es aritmética (diferencia d). Si siempre se multiplica por lo mismo, es geométrica (razón r).
$diferencias: 4, 4, 4$
$cocientes: \frac{7}{3}, \frac{11}{7}, \frac{15}{11}$
Es una progresión aritmética
Cada término se obtiene sumando d = 4 al anterior. El término general es $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ .
$a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n - 1$
Calculamos el término 10
Reemplazamos n en el término general.
$a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39$
Sumamos los primeros 10 términos
La suma de una aritmética es la cantidad de términos por el promedio entre el primero y el último: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ .
$S_{10} = \frac{10 \cdot ( 3 + 39 )}{2} = 210$
Verificamos
Escribimos todos los términos y los sumamos uno por uno.
$n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o = 210 ✓$

Resultado

a_{10} = 39, S_{10} = 210

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: 2, 6, 18, 54, …

Método: Progresión geométrica

Miramos cómo cambian los términos
Si siempre se suma lo mismo, es aritmética (diferencia d). Si siempre se multiplica por lo mismo, es geométrica (razón r).
$diferencias: 4, 12, 36$
$cocientes: 3, 3, 3$
Es una progresión geométrica
Cada término se obtiene multiplicando el anterior por r = 3. El término general es $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ .
$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$
Calculamos el término 10
Reemplazamos n en el término general.
$a_{10} = 2 \cdot 3^{9} = 39366$
Sumamos los primeros 10 términos
Para una geométrica: $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{r ^{n} - 1}{r - 1}$ .
$S_{10} = 2 \cdot \frac{3 ^{10} - 1}{3 - 1} = 59048$
Verificamos
Escribimos todos los términos y los sumamos uno por uno.
$n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o + n o d e f ini d o = 59048 ✓$

Resultado

a_{10} = 39366, S_{10} = 59048

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: progresión aritmética a1 = 5, d = 3, término 20

Método: Progresión aritmética

Es una progresión aritmética
Cada término se obtiene sumando d = 3 al anterior. El término general es $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ .
$a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n + 2$
Calculamos el término 20
Reemplazamos n en el término general.
$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$
Sumamos los primeros 20 términos
La suma de una aritmética es la cantidad de términos por el promedio entre el primero y el último: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ .
$S_{20} = \frac{20 \cdot ( 5 + 62 )}{2} = 670$
Verificamos
Escribimos los primeros términos y comprobamos que siguen la regla.
$5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, \dots ✓$

Resultado

a_{20} = 62, S_{20} = 670

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

En una aritmética se suma siempre lo mismo (d); en una geométrica se multiplica (r).
El término general usa n − 1, no n: aₙ = a₁ + (n − 1)·d.

Progresiones: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Progresiones

Proporciones

Media

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 3, 7, 11, 15, ...

Miramos cómo cambian los términos

Es una progresión aritmética

Calculamos el término 10

Sumamos los primeros 10 términos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: 2, 6, 18, 54, …

Miramos cómo cambian los términos

Es una progresión geométrica

Calculamos el término 10

Sumamos los primeros 10 términos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: progresión aritmética a1 = 5, d = 3, término 20

Es una progresión aritmética

Calculamos el término 20

Sumamos los primeros 20 términos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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