Desigualdades: ejercicios resueltos paso a paso

Se despeja como en una ecuación, pero si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Inecuaciones

Se despeja como en una ecuación, pero si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

- 2 x < 6 \Rightarrow x > - 3

Sumas de Riemann

El área bajo la curva se aproxima con rectángulos. Cuantos más (y más finitos) usemos, mejor la aproximación; en el límite da exactamente la integral.

\int_{a}^{b} f = n \to \infty lim \sum f (x_{i}) Δ x

Valor absoluto

Es la distancia de un número al 0 en la recta numérica, por eso nunca es negativo. El opuesto cambia el signo y el inverso es 1 dividido el número.

∣ - 5∣ = 5, - (- 5) = 5, (- 5)^{- 1} = - \frac{1}{5}

Despejar

En una igualdad podemos hacer lo mismo de los dos lados sin que deje de ser cierta. “Pasar restando” es en realidad restar lo mismo en ambos miembros.

2 x + 3 = 11 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 3x - 5 > 2x + 1

Método: Despeje (con cambio de sentido si hace falta)

Escribimos la inecuación
Se resuelve casi igual que una ecuación, con una diferencia importante: si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad se da vuelta.
$3 x - 5 > 2 x + 1$
Pasamos todo de un lado
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro.
$x > 6$
Despejamos
Dividimos por 1, que es positivo: la desigualdad se mantiene.
$x > 6$
Escribimos la solución
La expresamos como intervalo y la marcamos en la recta numérica (el punto lleno indica que el extremo está incluido).
$x \in (6, + \infty)$
Verificamos
Probamos con un número de la solución (tiene que cumplirse) y con uno de afuera (no tiene que cumplirse).
$x = 7 : 16 > 15 ✓$
$x = 5 : no se cumple ✓$

Resultado

x \in (6, + \infty)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: x^2 - 5x + 6 < 0

Método: Raíces y tabla de signos

Escribimos la inecuación
Se resuelve casi igual que una ecuación, con una diferencia importante: si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad se da vuelta.
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$
Pasamos todo de un lado
Comparamos la expresión con 0.
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$
Buscamos las raíces
Las raíces son los puntos donde la expresión vale 0 y puede cambiar de signo.
$x_{1} = 2, x_{2} = 3$
Armamos la tabla de signos
Probamos un número de cada intervalo para ver el signo de la expresión.
Intervalo Probamos x = Signo
$(- \infty, 2)$ 1 +
$(2, 3)$ 2,5 −
$(3, + \infty)$ 4 +
Elegimos los intervalos
Nos quedamos con los intervalos donde la expresión es negativa.
$x \in (2, 3)$
Verificamos
Probamos con x = 2,5, que está en la solución.
$- 0, 25 < 0 ✓$

Intervalo	Probamos x =	Signo
$(- \infty, 2)$	1	+
$(2, 3)$	2,5	−
$(3, + \infty)$	4	+

Resultado

x \in (2, 3)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: |x - 3| < 5

Método: Valor absoluto

Escribimos la inecuación
El valor absoluto es la distancia al cero.
$∣ x - 3 ∣ < 5$
Sacamos el valor absoluto
|u| < k significa que u está a menos de k del cero: −k < u < k.
$- 5 < x - 3 < 5$
Despejamos
Resolvemos para x (si dividimos por un negativo, se dan vuelta las desigualdades).
$x \in (- 2, 8)$
Verificamos
Probamos con x = 3, que está en la solución.
$∣ 3 - 3 ∣ = 0 < 5 ✓$

Resultado

x \in (- 2, 8)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: -3 < 2x + 1 <= 7

Método: Doble desigualdad

Escribimos la doble desigualdad
Hacemos la misma operación en las tres partes a la vez.
$- 3 < 2 x + 1 \leq 7$
Restamos en las tres partes
Restamos 1 para dejar solo el término con x.
$- 4 < 2 x \leq 6$
Dividimos en las tres partes
Dividimos por 2, que es positivo: las desigualdades se mantienen.
$- 2 < x \leq 3$
Verificamos
Probamos con un valor del intervalo, por ejemplo x = 0,5.
$- 3 < 2 \leq 7 ✓$

Resultado

x \in (- 2, 3]

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Al multiplicar o dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad se da vuelta.
Fijate si los extremos van incluidos [ ] o excluidos ( ).

Desigualdades: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Inecuaciones

Sumas de Riemann

Valor absoluto

Despejar

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 3x - 5 > 2x + 1

Escribimos la inecuación

Pasamos todo de un lado

Despejamos

Escribimos la solución

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: x^2 - 5x + 6 < 0

Escribimos la inecuación

Pasamos todo de un lado

Buscamos las raíces

Armamos la tabla de signos

Elegimos los intervalos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: |x - 3| < 5

Escribimos la inecuación

Sacamos el valor absoluto

Despejamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: -3 < 2x + 1 <= 7

Escribimos la doble desigualdad

Restamos en las tres partes

Dividimos en las tres partes

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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