Problemas con enunciado: ejercicios resueltos paso a paso

Si reemplazamos en nuestra ecuación y la planteamos mal, la verificación igual da bien. Por eso controlamos con los datos del enunciado original. Acá tenés 8 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Verificar en el enunciado

Si reemplazamos en nuestra ecuación y la planteamos mal, la verificación igual da bien. Por eso controlamos con los datos del enunciado original.

Juan 36, hijo 12 : 36 = 3 \cdot 12 ✓, 36 + 12 = 48 ✓

Elegir la incógnita

Lo que pregunta el problema es lo que no conocemos: a eso lo llamamos x. Si hay dos cantidades desconocidas, conviene llamar x a la que sirve de referencia (la “más chica” o la que se nombra después de “de”), así la otra se escribe a partir de x sin fracciones.

“A tiene el triple que B” \Rightarrow B = x, A = 3 x

Del castellano a los símbolos

“El doble” es multiplicar por 2, “la mitad” es dividir por 2, “aumentado en” o “más” es sumar, “disminuido en” o “menos” es restar, “es”, “da” u “obtengo” es el signo igual. “El consecutivo” de x es x + 1.

el doble de un n \overset{u}{ˊ} mero m \overset{a}{ˊ} s 3 \to 2 x + 3

Plantear la ecuación

La ecuación es una igualdad que dice lo mismo que el enunciado, pero con símbolos. Una vez planteada, se resuelve como cualquier ecuación.

2 x + 7 = 25

Responder con una oración

El problema no pregunta “cuánto vale x”, pregunta por cosas concretas (edades, precios, medidas). La respuesta completa dice qué es cada valor y lleva la unidad.

El ancho mide 5 cm y el largo, 8 cm.

Fórmula resolvente

Sale de completar cuadrados en ax² + bx + c = 0. El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: El doble de un número aumentado en 7 es 25. ¿Cuál es el número?

Método: Un número

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. Cada vez que el enunciado dice “un número” o “el número”, escribimos x.
$x = el n \overset{u}{ˊ} mero que buscamos$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
El número $x$
El doble de un numero aumentado en 7 $2 x + 7$
Es / da: 25 $25$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$2 x + 7 = 25$
Pasamos de término
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
$2 x = 18$
Despejamos x
El número que multiplica a x pasa dividiendo.
$x = \frac{18}{2} = 9$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$izquierda: 25, derecha: 25 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: El número es 9.
$x = 9$

En el enunciado	En símbolos
El número	$x$
El doble de un numero aumentado en 7	$2 x + 7$
Es / da: 25	$25$

Resultado

x = 9

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Ejemplo 2: La suma de tres números consecutivos es 45

Método: Números consecutivos

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. Si conocemos el menor, los demás salen sumando de a 1.
$x = el menor de los 3 n \overset{u}{ˊ} meros$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
El menor $x$
El segundo $x + 1$
El tercero $x + 2$
La suma es 45 $x + (x + 1) + (x + 2) = 45$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$x + (x + 1) + (x + 2) = 45$
Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes
Aplicamos la propiedad distributiva y sumamos los términos semejantes de cada miembro.
$3 x + 3 = 45$
Pasamos de término
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
$3 x = 42$
Despejamos x
El número que multiplica a x pasa dividiendo.
$x = \frac{42}{3} = 14$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$14 + 15 + 16 = 45 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: Los números son 14, 15 y 16.
$14, 15, 16$

En el enunciado	En símbolos
El menor	$x$
El segundo	$x + 1$
El tercero	$x + 2$
La suma es 45	$x + (x + 1) + (x + 2) = 45$

Resultado

14, 15, 16

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Ejemplo 3: Juan tiene el triple de la edad de su hijo y entre los dos suman 48 años

Método: Edades

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. Conviene llamar x a la edad de su hijo, porque la edad de Juan se escribe a partir de ella.
$x = edad actual de su hijo$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
Edad de su hijo $x$
Juan tiene el triple de la edad de su hijo $3 x$
Entre los dos suman 48 $3 x + x = 48$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$3 x + x = 48$
Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes
Aplicamos la propiedad distributiva y sumamos los términos semejantes de cada miembro.
$4 x = 48$
Pasamos de término
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
$4 x = 48$
Despejamos x
El número que multiplica a x pasa dividiendo.
$x = \frac{48}{4} = 12$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$36 + 12 = 48 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: Juan tiene 36 años y su hijo tiene 12 años.
$Juan = 36 a \overset{n}{˜} os, Hijo = 12 a \overset{n}{˜} os$

En el enunciado	En símbolos
Edad de su hijo	$x$
Juan tiene el triple de la edad de su hijo	$3 x$
Entre los dos suman 48	$3 x + x = 48$

Resultado

Juan = 36 a \overset{n}{˜} os, Hijo = 12 a \overset{n}{˜} os

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Ejemplo 4: El largo de un rectángulo mide 3 cm más que el ancho y su área es 40 cm2

Método: Rectángulo

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. Llamamos x a la medida que sirve de referencia: la otra se escribe a partir de ella.
$x = el ancho del rect \overset{a}{ˊ} ngulo (en cm)$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
Ancho $x$
El largo mide 3 cm más $x + 3$
Área = 40 cm² (largo por ancho) $(x + 3) \cdot x = 40$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$(x + 3) x = 40$
La llevamos a la forma general
Pasamos todo a un miembro, juntamos semejantes y, si hace falta, multiplicamos o dividimos para que los coeficientes queden enteros y simples.
$x^{2} + 3 x - 40 = 0$
Identificamos a, b y c
Comparamos con $a x^{2} + b x + c = 0$ . El signo es parte del número.
$a = 1, b = 3, c = - 40$
Calculamos el discriminante
El discriminante dice cuántas soluciones reales hay: si es positivo, dos; si es 0, una (doble); si es negativo, ninguna real (son complejas).
$Δ = b^{2} - 4 a c = (3)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (- 40) = 169$
Aplicamos la fórmula resolvente
Reemplazamos a, b y Δ en la fórmula. Ojo con −b: es el opuesto de b.
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = \frac{- 3 \pm 169}{2}$
$x_{1} = 5, x_{2} = - 8$
Descartamos lo que no tiene sentido
La ecuación da 5 y -8, pero en el problema una longitud tiene que ser positiva. Por eso descartamos -8.
$x = - 8 no sirve$
$x = 5$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$8 \cdot 5 = 40 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: El ancho mide 5 cm y el largo mide 8 cm.
$Ancho = 5 cm, Largo = 8 cm$

En el enunciado	En símbolos
Ancho	$x$
El largo mide 3 cm más	$x + 3$
Área = 40 cm² (largo por ancho)	$(x + 3) \cdot x = 40$

Resultado

Ancho = 5 cm, Largo = 8 cm

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Ejemplo 5: 3 cuadernos y 2 lapiceras cuestan $ 1300. Cada cuaderno cuesta $ 200 más que una lapicera

Método: Compras

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. Llamamos x al precio que se usa de referencia; el precio de cuaderno se escribe a partir de él.
$x = precio de un/a lapicera$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
Precio de un/a lapicera $x$
Precio de un/a cuaderno $x + 200$
3 cuaderno: 3 veces su precio $3 (x + 200)$
2 lapicera $2 x$
En total $1.300 < / t d >< t d >$ 3(x+200)+2x=1300$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$3 (x + 200) + 2 x = 1300$
Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes
Aplicamos la propiedad distributiva y sumamos los términos semejantes de cada miembro.
$5 x + 600 = 1300$
Pasamos de término
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
$5 x = 700$
Despejamos x
El número que multiplica a x pasa dividiendo.
$x = \frac{700}{5} = 140$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$3 \cdot $ 340 + 2 \cdot $ 140 = $ 1.300 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: Cada lapicera cuesta $140 yc a d a c u a d er n oc u es t a$ 340.
$Lapicera = $ 140, Cuaderno = $ 340$

En el enunciado	En símbolos
Precio de un/a lapicera	$x$
Precio de un/a cuaderno	$x + 200$
3 cuaderno: 3 veces su precio	$3 (x + 200)$
2 lapicera	$2 x$
En total $1.300 < / t d >< t d >$ 3(x+200)+2x=1300$

Resultado

Lapicera = $ 140, Cuaderno = $ 340

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Ejemplo 6: Después de un aumento del 20 % un producto cuesta $ 3600. ¿Cuánto costaba antes?

Método: Porcentaje (precio original)

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. El 20 % se calcula sobre el precio original, que no conocemos: por eso no alcanza con restar el 20 % al precio final.
$x = precio original (antes del aumento)$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
Precio original $x$
El 20 % del precio original $\frac{1}{5} x$
Precio con el aumento = $3.600 < / t d >< t d >$ x+\frac{1}{5}x=3600$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$x + \frac{1}{5} x = 3600$
Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes
Aplicamos la propiedad distributiva y sumamos los términos semejantes de cada miembro.
$\frac{6}{5} x = 3600$
Sacamos los denominadores
Multiplicamos los dos miembros por 5 (el mínimo común múltiplo de los denominadores) para trabajar sin fracciones.
$6 x = 18000$
Pasamos de término
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
$6 x = 18000$
Despejamos x
El número que multiplica a x pasa dividiendo.
$x = \frac{18 000}{6} = 3000$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$$ 3.000 + 20% \cdot $ 3.000 = $ 3.000 + $ 600 = $ 3.600 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: El precio original era $ 3.000.
$$ 3.000$

En el enunciado	En símbolos
Precio original	$x$
El 20 % del precio original	$\frac{1}{5} x$
Precio con el aumento = $3.600 < / t d >< t d >$ x+\frac{1}{5}x=3600$

Resultado

$ 3.000

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Ejemplo 7: Dos autos salen al mismo tiempo de dos ciudades separadas por 450 km, uno a 80 km/h y el otro a 70 km/h. ¿En cuánto tiempo se encuentran?

Método: Encuentro de dos móviles

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. Los dos móviles se mueven durante el mismo tiempo. Distancia = velocidad × tiempo.
$x = tiempo hasta encontrarse (en horas)$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
Tiempo $x$
Distancia del primero (80 por h) $80 x$
Distancia del segundo (70 por h) $70 x$
Entre los dos recorren los 450 km $80 x + 70 x = 450$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$80 x + 70 x = 450$
Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes
Aplicamos la propiedad distributiva y sumamos los términos semejantes de cada miembro.
$150 x = 450$
Pasamos de término
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
$150 x = 450$
Despejamos x
El número que multiplica a x pasa dividiendo.
$x = \frac{450}{150} = 3$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$240 + 210 = 450 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: Se encuentran después de 3 horas. El primero recorre 240 km y el segundo, 210 km.
$x = 3 h$

En el enunciado	En símbolos
Tiempo	$x$
Distancia del primero (80 por h)	$80 x$
Distancia del segundo (70 por h)	$70 x$
Entre los dos recorren los 450 km	$80 x + 70 x = 450$

Resultado

x = 3 h

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Ejemplo 8: Una canilla llena un tanque en 4 horas y otra en 6 horas. ¿Cuánto tardan las dos juntas?

Método: Trabajo conjunto

Leemos e identificamos la incógnita
Primero buscamos qué nos preguntan: eso es lo que no conocemos. En 1 hora el primero hace 1/4 del trabajo y el segundo 1/6. En x horas tienen que completar el trabajo entero (1).
$x = tiempo que tardan juntos (en horas)$
Traducimos al lenguaje algebraico
Pasamos cada dato del enunciado a una expresión con x.
En el enunciado En símbolos
Tiempo juntos $x$
Lo que hace el primero en x horas $\frac{x}{4}$
Lo que hace el segundo en x horas $\frac{x}{6}$
Entre los dos hacen todo el trabajo $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1$
Planteamos la ecuación
Juntamos todo en una igualdad. Ahora es un ejercicio de ecuaciones como cualquier otro.
$\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1$
Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes
Aplicamos la propiedad distributiva y sumamos los términos semejantes de cada miembro.
$\frac{5}{12} x = 1$
Sacamos los denominadores
Multiplicamos los dos miembros por 12 (el mínimo común múltiplo de los denominadores) para trabajar sin fracciones.
$5 x = 12$
Pasamos de término
Dejamos los términos con x de un lado y los números del otro. Lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
$5 x = 12$
Despejamos x
El número que multiplica a x pasa dividiendo.
$x = \frac{12}{5} = \frac{12}{5}$
Verificamos en el enunciado
No alcanza con reemplazar en la ecuación (podríamos haberla planteado mal): controlamos que se cumplan los datos del enunciado.
$\frac{2 , 4}{4} + \frac{2 , 4}{6} = 1 ✓$
Respondemos
Contestamos con una oración lo que pregunta el problema: Juntos tardan 2,4 horas (2 h 24 min).
$x = 2, 4 horas$

En el enunciado	En símbolos
Tiempo juntos	$x$
Lo que hace el primero en x horas	$\frac{x}{4}$
Lo que hace el segundo en x horas	$\frac{x}{6}$
Entre los dos hacen todo el trabajo	$\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1$

Resultado

x = 2, 4 horas

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Ojo con…

Leé todo el enunciado antes de escribir: primero decidí qué es x.
“A tiene 5 más que B” es A = B + 5, no B = A + 5: fijate quién tiene más.
Al final, respondé la pregunta con una oración y con unidades: no alcanza con “x = 12”.
Descartá las soluciones que no tienen sentido (longitudes o edades negativas).

Problemas con enunciado: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Verificar en el enunciado

Elegir la incógnita

Del castellano a los símbolos

Plantear la ecuación

Responder con una oración

Fórmula resolvente

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: El doble de un número aumentado en 7 es 25. ¿Cuál es el número?

Leemos e identificamos la incógnita

Traducimos al lenguaje algebraico

Planteamos la ecuación

Pasamos de término

Despejamos x

Verificamos en el enunciado

Respondemos

Resultado

Ejemplo 2: La suma de tres números consecutivos es 45

Leemos e identificamos la incógnita

Traducimos al lenguaje algebraico

Planteamos la ecuación

Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes

Pasamos de término

Despejamos x

Verificamos en el enunciado

Respondemos

Resultado

Ejemplo 3: Juan tiene el triple de la edad de su hijo y entre los dos suman 48 años

Leemos e identificamos la incógnita

Traducimos al lenguaje algebraico

Planteamos la ecuación

Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes

Pasamos de término

Despejamos x

Verificamos en el enunciado

Respondemos

Resultado

Ejemplo 4: El largo de un rectángulo mide 3 cm más que el ancho y su área es 40 cm2

Leemos e identificamos la incógnita

Traducimos al lenguaje algebraico

Planteamos la ecuación

La llevamos a la forma general

Identificamos a, b y c

Calculamos el discriminante

Aplicamos la fórmula resolvente

Descartamos lo que no tiene sentido

Verificamos en el enunciado

Respondemos

Resultado

Ejemplo 5: 3 cuadernos y 2 lapiceras cuestan $ 1300. Cada cuaderno cuesta $ 200 más que una lapicera

Leemos e identificamos la incógnita

Traducimos al lenguaje algebraico

Planteamos la ecuación

Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes

Pasamos de término

Despejamos x

Verificamos en el enunciado

Respondemos

Resultado

Ejemplo 6: Después de un aumento del 20 % un producto cuesta $ 3600. ¿Cuánto costaba antes?

Leemos e identificamos la incógnita

Traducimos al lenguaje algebraico

Planteamos la ecuación

Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes

Sacamos los denominadores

Pasamos de término

Despejamos x

Verificamos en el enunciado

Respondemos

Resultado

Ejemplo 7: Dos autos salen al mismo tiempo de dos ciudades separadas por 450 km, uno a 80 km/h y el otro a 70 km/h. ¿En cuánto tiempo se encuentran?

Leemos e identificamos la incógnita

Traducimos al lenguaje algebraico

Planteamos la ecuación

Resolvemos paréntesis y juntamos semejantes

Pasamos de término

Despejamos x

Verificamos en el enunciado

Respondemos