Ecuaciones de segundo grado: ejercicios resueltos paso a paso

Sale de completar cuadrados en ax² + bx + c = 0. El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Fórmula resolvente

Sale de completar cuadrados en ax² + bx + c = 0. El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Factor común

Si todos los términos comparten un factor, lo sacamos afuera de un paréntesis (es la distributiva al revés).

6 x^{3} - 9 x = 3 x (2 x^{2} - 3)

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Términos semejantes

Solo se pueden sumar términos que tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes): se suman sus coeficientes.

3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x = 2 x^{2} + 7 x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Método: Fórmula resolvente

Escribimos la ecuación
Es de segundo grado: el mayor exponente de la incógnita es 2.
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
La llevamos a la forma general
Pasamos todo a un miembro, juntamos semejantes y, si hace falta, multiplicamos o dividimos para que los coeficientes queden enteros y simples.
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
Identificamos a, b y c
Comparamos con $a x^{2} + b x + c = 0$ . El signo es parte del número.
$a = 1, b = - 5, c = 6$
Calculamos el discriminante
El discriminante dice cuántas soluciones reales hay: si es positivo, dos; si es 0, una (doble); si es negativo, ninguna real (son complejas).
$Δ = b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (6) = 1$
Aplicamos la fórmula resolvente
Reemplazamos a, b y Δ en la fórmula. Ojo con −b: es el opuesto de b.
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = \frac{5 \pm 1}{2}$
$x_{1} = 3, x_{2} = 2$
Verificamos
Reemplazamos cada solución en la ecuación original: los dos miembros tienen que dar lo mismo.
$x = 3 : 0 = 0 ✓$
$x = 2 : 0 = 0 ✓$

Resultado

x_{1} = 3, x_{2} = 2

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: $2 x^{2} + 3 x = 5$

Método: Fórmula resolvente

Escribimos la ecuación
Es de segundo grado: el mayor exponente de la incógnita es 2.
$2 x^{2} + 3 x = 5$
La llevamos a la forma general
Pasamos todo a un miembro, juntamos semejantes y, si hace falta, multiplicamos o dividimos para que los coeficientes queden enteros y simples.
$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$
Identificamos a, b y c
Comparamos con $a x^{2} + b x + c = 0$ . El signo es parte del número.
$a = 2, b = 3, c = - 5$
Calculamos el discriminante
El discriminante dice cuántas soluciones reales hay: si es positivo, dos; si es 0, una (doble); si es negativo, ninguna real (son complejas).
$Δ = b^{2} - 4 a c = (3)^{2} - 4 \cdot (2) \cdot (- 5) = 49$
Aplicamos la fórmula resolvente
Reemplazamos a, b y Δ en la fórmula. Ojo con −b: es el opuesto de b.
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = \frac{- 3 \pm 49}{4}$
$x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{5}{2}$
Verificamos
Reemplazamos cada solución en la ecuación original: los dos miembros tienen que dar lo mismo.
$x = 1 : 5 = 5 ✓$
$x = - \frac{5}{2} : 5 = 5 ✓$

Resultado

x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{5}{2}

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: $x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Método: Fórmula resolvente

Escribimos la ecuación
Es de segundo grado: el mayor exponente de la incógnita es 2.
$x^{2} - 2 x - 1 = 0$
La llevamos a la forma general
Pasamos todo a un miembro, juntamos semejantes y, si hace falta, multiplicamos o dividimos para que los coeficientes queden enteros y simples.
$x^{2} - 2 x - 1 = 0$
Identificamos a, b y c
Comparamos con $a x^{2} + b x + c = 0$ . El signo es parte del número.
$a = 1, b = - 2, c = - 1$
Calculamos el discriminante
El discriminante dice cuántas soluciones reales hay: si es positivo, dos; si es 0, una (doble); si es negativo, ninguna real (son complejas).
$Δ = b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (- 1) = 8$
Aplicamos la fórmula resolvente
Reemplazamos a, b y Δ en la fórmula. Ojo con −b: es el opuesto de b.
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = \frac{2 \pm 8}{2}$
$x_{1, 2} = 1 \pm 2$
Verificamos
Usamos las propiedades de las raíces: la suma tiene que dar −b/a y el producto, c/a.
$x_{1} + x_{2} = 2 = - \frac{b}{a} = 2 ✓$
$x_{1} \cdot x_{2} = - 1 = \frac{c}{a} ✓$

Resultado

x_{1, 2} = 1 \pm 2

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: $x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Método: Fórmula resolvente

Escribimos la ecuación
Es de segundo grado: el mayor exponente de la incógnita es 2.
$x^{2} + 2 x + 5 = 0$
La llevamos a la forma general
Pasamos todo a un miembro, juntamos semejantes y, si hace falta, multiplicamos o dividimos para que los coeficientes queden enteros y simples.
$x^{2} + 2 x + 5 = 0$
Identificamos a, b y c
Comparamos con $a x^{2} + b x + c = 0$ . El signo es parte del número.
$a = 1, b = 2, c = 5$
Calculamos el discriminante
El discriminante dice cuántas soluciones reales hay: si es positivo, dos; si es 0, una (doble); si es negativo, ninguna real (son complejas).
$Δ = b^{2} - 4 a c = (2)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (5) = - 16$
Aplicamos la fórmula resolvente
Reemplazamos a, b y Δ en la fórmula. Ojo con −b: es el opuesto de b.
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = \frac{- 2 \pm - 16}{2}$
$x_{1, 2} = - 1 \pm 2 i$
Verificamos
Usamos las propiedades de las raíces: la suma tiene que dar −b/a y el producto, c/a.
$x_{1} + x_{2} = - 2 = - \frac{b}{a} = - 2 ✓$
$x_{1} \cdot x_{2} = 5 = \frac{c}{a} ✓$

Resultado

x_{1, 2} = - 1 \pm 2 i

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 5: $3 x^{2} = 12 x$

Método: Factor común (incompleta)

Escribimos la ecuación
Es de segundo grado: el mayor exponente de la incógnita es 2.
$3 x^{2} = 12 x$
La llevamos a la forma general
Pasamos todo a un miembro, juntamos semejantes y, si hace falta, multiplicamos o dividimos para que los coeficientes queden enteros y simples.
$x^{2} - 4 x = 0$
Identificamos a, b y c
Comparamos con $a x^{2} + b x + c = 0$ . El signo es parte del número.
$a = 1, b = - 4, c = 0$
Sacamos factor común
Como c = 0, todos los términos tienen x. Sacamos x de factor común y usamos que si un producto da 0, alguno de los factores es 0.
$x (x - 4) = 0$
$x_{1} = 0, x_{2} = 4$
Verificamos
Reemplazamos cada solución en la ecuación original: los dos miembros tienen que dar lo mismo.
$x = 0 : 0 = 0 ✓$
$x = 4 : 48 = 48 ✓$

Resultado

x_{1} = 0, x_{2} = 4

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

No te olvides del ± de la resolvente: suele haber dos soluciones.
Cuidado con −b: si b es negativo, −b es positivo.
Si falta el término independiente, conviene sacar factor común (y x = 0 es solución).

Ecuaciones de segundo grado: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Fórmula resolvente

Factor común

Propiedades de las potencias

Términos semejantes

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: x2−5x+6=0

Escribimos la ecuación

La llevamos a la forma general

Identificamos a, b y c

Calculamos el discriminante

Aplicamos la fórmula resolvente

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: 2x2+3x=5

Escribimos la ecuación

La llevamos a la forma general

Identificamos a, b y c

Calculamos el discriminante

Aplicamos la fórmula resolvente

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: x2−2x−1=0

Escribimos la ecuación

La llevamos a la forma general

Identificamos a, b y c

Calculamos el discriminante

Aplicamos la fórmula resolvente

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: x2+2x+5=0

Escribimos la ecuación

La llevamos a la forma general

Identificamos a, b y c

Calculamos el discriminante

Aplicamos la fórmula resolvente

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: 3x2=12x

Escribimos la ecuación

La llevamos a la forma general

Identificamos a, b y c

Sacamos factor común

Verificamos

Resultado

Ojo con…

Más temas de Álgebra

Ejemplo 1: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Ejemplo 2: $2 x^{2} + 3 x = 5$

Ejemplo 3: $x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Ejemplo 4: $x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Ejemplo 5: $3 x^{2} = 12 x$