Radicación: ejercicios resueltos paso a paso

El producto de una suma por una diferencia da la diferencia de los cuadrados; leído al revés, sirve para factorizar. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Diferencia de cuadrados

El producto de una suma por una diferencia da la diferencia de los cuadrados; leído al revés, sirve para factorizar.

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Simplificar

Dividir numerador y denominador por un mismo número (distinto de 0) no cambia el valor de la fracción: es como cortar la torta en porciones más grandes.

\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

Raíces

Una raíz se puede simplificar sacando los factores que tienen exponente igual al índice. Para racionalizar multiplicamos arriba y abajo por lo que hace desaparecer la raíz del denominador.

72 = 36 \cdot 2 = 62

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Propiedad distributiva

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis.

3 (x + 2) = 3 x + 6

Términos semejantes

Solo se pueden sumar términos que tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes): se suman sus coeficientes.

3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x = 2 x^{2} + 7 x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: $72 x^{5} y^{2}$

Método: Extracción de factores

Escribimos la raíz
Para simplificar, sacamos de la raíz todo lo que forme grupos de 2 factores iguales. Suponemos que las letras representan números positivos.
$72 x^{5} y^{2}$
Descomponemos el radicando
Factorizamos el número en primos y separamos cada exponente en un múltiplo del índice más lo que sobra.
$72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$
Extraemos los factores
Cada exponente se divide por 2: el cociente sale de la raíz y el resto se queda adentro.
$x^{5} = x^{2 \cdot 2 + 1}$
$y^{2} = y^{2 \cdot 1 + 0}$
$72 x^{5} y^{2} = 6 x^{2} y 2 x$
Verificamos
Reemplazamos las letras por números positivos en la raíz original y en el resultado.
$x = 2, y = 3 : 144 = 144 ✓$

Resultado

6 x^{2} y 2 x

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: $32 + 58 - 18$

Método: Radicales semejantes

Escribimos la expresión
Para sumar o restar raíces tienen que ser semejantes (mismo índice y mismo radicando). Primero simplificamos cada una sacando factores.
$32 + 58 - 18$
Simplificamos cada raíz
Buscamos el mayor cuadrado perfecto que divide a cada radicando y lo sacamos afuera.
$32 + 102 - 32$
Sumamos las semejantes
Las raíces con el mismo radicando se suman como términos semejantes: sumamos los números de adelante.
$102$
Verificamos
Calculamos con decimales la expresión original y el resultado.
$14, 142136 = 14, 142136 ✓$

Resultado

102

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Ejemplo 3: $\frac{3}{2}$

Método: Racionalización (una raíz)

Escribimos la expresión
Racionalizar es conseguir que el denominador no tenga raíces, multiplicando arriba y abajo por lo mismo (así la fracción no cambia).
$\frac{3}{2}$
Elegimos por qué multiplicar
El denominador tiene una sola raíz: multiplicamos por $2$ , porque $a \cdot a = a$ .
$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$
Multiplicamos
Arriba aplicamos distributiva; abajo queda un número sin raíces.
$\frac{3 2}{2}$
Simplificamos
Dividimos cada término del numerador por el denominador.
$\frac{3}{2} 2$
Verificamos
Calculamos con decimales la expresión original y el resultado: tienen que dar lo mismo.
$2, 12132 = 2, 12132 ✓$

Resultado

\frac{3}{2} 2

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Ejemplo 4: $\frac{4}{3 - 5}$

Método: Racionalización con el conjugado

Escribimos la expresión
Racionalizar es conseguir que el denominador no tenga raíces, multiplicando arriba y abajo por lo mismo (así la fracción no cambia).
$\frac{4}{3 - 5}$
Multiplicamos por el conjugado
El denominador es un binomio con raíces: multiplicamos por su conjugado (el mismo binomio con el signo del medio cambiado). Así aparece una diferencia de cuadrados y las raíces se van.
$\frac{4}{3 - 5} \cdot \frac{3 + 5}{3 + 5}$
Multiplicamos
Arriba aplicamos distributiva; abajo queda un número sin raíces.
$\frac{12 + 4 5}{4}$
Simplificamos
Dividimos cada término del numerador por el denominador.
$3 + 5$
Verificamos
Calculamos con decimales la expresión original y el resultado: tienen que dar lo mismo.
$5, 236068 = 5, 236068 ✓$

Resultado

3 + 5

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Ojo con…

√(a + b) no es √a + √b.
Solo se suman radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando).
Al racionalizar se multiplica arriba y abajo por lo mismo.

Radicación: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Diferencia de cuadrados

Simplificar

Raíces

Propiedades de las potencias

Propiedad distributiva

Términos semejantes

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 72x5y2​

Escribimos la raíz

Descomponemos el radicando

Extraemos los factores

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: 32​+58​−18​

Escribimos la expresión

Simplificamos cada raíz

Sumamos las semejantes

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: 2​3​

Escribimos la expresión

Elegimos por qué multiplicar

Multiplicamos

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: 3−5​4​

Escribimos la expresión

Multiplicamos por el conjugado

Multiplicamos

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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