Números complejos: ejercicios resueltos paso a paso

La unidad imaginaria cumple i² = −1. Con eso se opera como con binomios; para dividir se multiplica por el conjugado del denominador. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Números complejos

La unidad imaginaria cumple i² = −1. Con eso se opera como con binomios; para dividir se multiplica por el conjugado del denominador.

(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}

Complejos en forma polar

Un complejo se puede ver como un punto del plano: su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo. Al multiplicar se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sen n θ)

Reparto proporcional

Se suman las partes, se calcula cuánto vale una parte y se multiplica por lo que le toca a cada uno.

120 en 2 : 3 \Rightarrow una parte = \frac{120}{5} = 24

Sistema métrico

Cada escalón de la escalera de unidades multiplica o divide por 10 (por 100 en superficie y por 1000 en volumen). Además, 1 dm³ = 1 litro.

3, 5 km = 3500 m

Propiedad distributiva

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis.

3 (x + 2) = 3 x + 6

Términos semejantes

Solo se pueden sumar términos que tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes): se suman sus coeficientes.

3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x = 2 x^{2} + 7 x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: (3 + 2i)(1 - i)

Método: Operaciones en forma binómica

Escribimos la operación
Los números complejos tienen parte real y parte imaginaria. La clave es que $i^{2} = - 1$ .
$(3 + 2 i) (1 - i)$
Aplicamos distributiva
Multiplicamos como si i fuera una letra.
$- 2 i^{2} - i + 3$
Reemplazamos i² por −1
Donde aparece $i^{2}$ ponemos −1 (y $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ ).
$2 - i + 3$
Juntamos parte real e imaginaria
Sumamos por un lado los números sin i y por otro los que tienen i.
$5 - i$
Verificamos
Rehacemos la cuenta por otro camino, con la fórmula de cada operación: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Tiene que dar lo mismo.
$(3 + 2 i) (1 - i) = 5 - i ✓$

Resultado

5 - i

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Ejemplo 2: (2 + 3i)/(1 - i)

Método: División con el conjugado

Escribimos la operación
Los números complejos tienen parte real y parte imaginaria. La clave es que $i^{2} = - 1$ .
$\frac{2 + 3 i}{1 - i}$
Multiplicamos por el conjugado
Para dividir, multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del denominador ( $1 + i$ ). Abajo queda un número real.
$\frac{2 + 3 i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{- 1 + 5 i}{2}$
Separamos parte real e imaginaria
Dividimos cada parte por el denominador.
$- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$
Verificamos
Multiplicamos el resultado por el divisor: tiene que dar el dividendo.
$(- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i) \cdot (1 - i) = 2 + 3 i ✓$

Resultado

- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i

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Ejemplo 3: i^23

Método: Potencias de i (ciclo de 4)

Escribimos la operación
Los números complejos tienen parte real y parte imaginaria. La clave es que $i^{2} = - 1$ .
$i^{23}$
Usamos que las potencias de i se repiten
Las potencias de i se repiten cada 4: $i^{0} = 1$ , $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ . Dividimos el exponente por 4 y nos quedamos con el resto.
$23 = 4 \cdot 5 + 3$
$i^{23} = i^{3} = - i$
Verificamos
Multiplicamos i por sí mismo de a uno y vemos el ciclo.
$i^{3} \cdot (i^{4})^{5} = - i \cdot 1 ✓$

Resultado

- i

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Ejemplo 4: módulo de 3 + 4i

Método: Módulo, argumento y forma polar

Escribimos el número
Un complejo en forma binómica es a + bi: a es la parte real y b la parte imaginaria. Lo podemos pensar como el punto (a; b) del plano.
$z = 3 + 4 i$
$a = 3, b = 4$
Calculamos el módulo
El módulo es la distancia al origen: por Pitágoras, la raíz de a² + b².
$∣ z ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$
Calculamos el argumento
El argumento es el ángulo con el eje real positivo. Usamos tg α = b/a y miramos en qué cuadrante está el punto.
$α \approx 53, 1 3^{\circ}$
Escribimos la forma polar y el conjugado
Forma polar: módulo y argumento. El conjugado cambia el signo de la parte imaginaria (es el simétrico respecto del eje real).
$z = 5_{53, 1 3^{\circ}} = 5 (cos 53, 1 3^{\circ} + i sen 53, 1 3^{\circ})$
$\overset{z}{ˉ} = 3 - 4 i$
Verificamos
Volvemos de la forma polar a la binómica: a = |z|·cos α y b = |z|·sen α.
$3 + 4 i \approx 3 + 4 i ✓$

Resultado

∣ z ∣ = 5, α \approx 53, 1 3^{\circ}

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Ojo con…

i² = −1, así que al multiplicar binomios el término con i² cambia de signo y pasa a la parte real.
Para dividir, multiplicá arriba y abajo por el conjugado del denominador.

Números complejos: ejercicios resueltos paso a paso

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