Raíces de un polinomio: ejercicios resueltos paso a paso

Una raíz se puede simplificar sacando los factores que tienen exponente igual al índice. Para racionalizar multiplicamos arriba y abajo por lo que hace desaparecer la raíz del denominador. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Raíces

Una raíz se puede simplificar sacando los factores que tienen exponente igual al índice. Para racionalizar multiplicamos arriba y abajo por lo que hace desaparecer la raíz del denominador.

72 = 36 \cdot 2 = 62

Factor común

Si todos los términos comparten un factor, lo sacamos afuera de un paréntesis (es la distributiva al revés).

6 x^{3} - 9 x = 3 x (2 x^{2} - 3)

Diferencia de cuadrados

El producto de una suma por una diferencia da la diferencia de los cuadrados; leído al revés, sirve para factorizar.

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Fórmula resolvente

Sale de completar cuadrados en ax² + bx + c = 0. El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: raíces de x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Método: Factorización (Gauss, Ruffini y resolvente)

Planteamos
Las raíces son los valores de x que hacen P(x) = 0. Para encontrarlas factorizamos el polinomio: cada factor de grado 1 nos da una raíz.
$P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Teorema de Gauss y regla de Ruffini
Usamos el teorema de Gauss: si hay una raíz racional p/q, p divide al término independiente (-6) y q divide al coeficiente principal (1). Probamos hasta que una da 0. Como P(1) = 0, el polinomio se divide por $(x - 1)$ y hacemos la división con Ruffini.
$posibles ra \overset{ı}{ˊ} ces: \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
$P (1) = 0$
$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6)$
$Queda: x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6)$
$1$ $- 6$ $11$ $- 6$
$1$ $1$ $- 5$ $6$
$1$ $- 5$ $6$ $0$
Trinomio de segundo grado
Si las raíces son $x_{1}$ y $x_{2}$ , el trinomio se escribe $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Buscamos las raíces con la fórmula resolvente.
$Δ = b^{2} - 4 a c = 1$
$x_{1} = 3, x_{2} = 2$
$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)$
$Queda: x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x - 1) (x - 3) (x - 2)$
Leemos las raíces
Igualamos cada factor a cero. Si un factor está elevado a una potencia, la raíz se repite (eso es su multiplicidad).
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 2$
$x_{3} = 3$
Verificamos
Reemplazamos cada raíz en el polinomio: tiene que dar 0.
$P (1) = 0 ✓$
$P (2) = 0 ✓$
$P (3) = 0 ✓$

	$1$	$- 6$	$11$	$- 6$
$1$		$1$	$- 5$	$6$
	$1$	$- 5$	$6$	$0$

Resultado

1, 2, 3

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: raíces de x^4 - 1

Método: Factorización (Gauss, Ruffini y resolvente)

Planteamos
Las raíces son los valores de x que hacen P(x) = 0. Para encontrarlas factorizamos el polinomio: cada factor de grado 1 nos da una raíz.
$P (x) = x^{4} - 1 = 0$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Diferencia de cuadrados
Son dos términos que se restan y los dos son cuadrados perfectos. Se factoriza como la resta de las bases por la suma de las bases: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$a = x^{2}, b = 1$
$x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$
$Queda: x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$
Diferencia de cuadrados
Son dos términos que se restan y los dos son cuadrados perfectos. Se factoriza como la resta de las bases por la suma de las bases: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$a = x, b = 1$
$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$
$Queda: x^{4} - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$
Revisamos si se puede seguir
El factor $x^{2} + 1$ es de grado 2 y su discriminante es negativo: no tiene raíces reales, así que no se puede factorizar más en los números reales.
$Δ = b^{2} - 4 a c = - 4$
Leemos las raíces
Igualamos cada factor a cero. Si un factor está elevado a una potencia, la raíz se repite (eso es su multiplicidad). Los factores de grado 2 sin raíces reales dan raíces complejas conjugadas.
$x_{1} = - 1$
$x_{2} = 1$
$x_{3} = i$
$x_{4} = - i$
Verificamos
Reemplazamos cada raíz en el polinomio: tiene que dar 0.
$P (- 1) = 0 ✓$
$P (1) = 0 ✓$

Resultado

- 1, 1, i, - i

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$

Método: Factorización (Gauss, Ruffini y resolvente)

Planteamos
Las raíces son los valores de x que hacen P(x) = 0. Para encontrarlas factorizamos el polinomio: cada factor de grado 1 nos da una raíz.
$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Factor común por grupos
Tiene cuatro términos sin un factor común a todos. Los agrupamos de a dos, sacamos factor común en cada grupo y, como queda el mismo paréntesis, lo sacamos de nuevo como factor común.
$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = (x^{3} - 2 x^{2}) + (- x + 2)$
$= x^{2} (x - 2) - 1 (x - 2)$
$= (x - 2) (x^{2} - 1)$
$Queda: x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = (x - 2) (x^{2} - 1)$
Diferencia de cuadrados
Son dos términos que se restan y los dos son cuadrados perfectos. Se factoriza como la resta de las bases por la suma de las bases: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$a = x, b = 1$
$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$
$Queda: x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = (x - 2) (x - 1) (x + 1)$
Leemos las raíces
Igualamos cada factor a cero. Si un factor está elevado a una potencia, la raíz se repite (eso es su multiplicidad).
$x_{1} = - 1$
$x_{2} = 1$
$x_{3} = 2$
Verificamos
Reemplazamos cada raíz en el polinomio: tiene que dar 0.
$P (- 1) = 0 ✓$
$P (1) = 0 ✓$
$P (2) = 0 ✓$

Resultado

- 1, 1, 2

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Si a es raíz, (x − a) es factor (ojo con el signo).
Contá la multiplicidad: una raíz doble aparece dos veces.

Raíces de un polinomio: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Raíces

Factor común

Diferencia de cuadrados

Fórmula resolvente

Propiedades de las potencias

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: raíces de x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Planteamos

Buscamos factor común

Teorema de Gauss y regla de Ruffini

Trinomio de segundo grado

Leemos las raíces

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: raíces de x^4 - 1

Planteamos

Buscamos factor común

Diferencia de cuadrados

Diferencia de cuadrados

Revisamos si se puede seguir

Leemos las raíces

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: x3−2x2−x+2=0

Planteamos

Buscamos factor común

Factor común por grupos

Diferencia de cuadrados

Leemos las raíces

Verificamos

Resultado

Ojo con…

Más temas de Álgebra

Ejemplo 3: $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$