Fracciones algebraicas: ejercicios resueltos paso a paso

Una fracción indica una división: el denominador dice en cuántas partes iguales se divide y el numerador, cuántas se toman. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Fracciones

Una fracción indica una división: el denominador dice en cuántas partes iguales se divide y el numerador, cuántas se toman.

\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0, 75

Sumar fracciones

Solo se pueden sumar partes del mismo tamaño. Por eso llevamos las fracciones a un denominador común (el mcm) y recién ahí sumamos los numeradores.

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Dominio

Son los valores de x donde la fórmula tiene sentido: no se puede dividir por 0, ni sacar raíz par de un negativo, ni logaritmo de algo que no sea positivo.

x - 2 \Rightarrow x \geq 2

Simplificar

Dividir numerador y denominador por un mismo número (distinto de 0) no cambia el valor de la fracción: es como cortar la torta en porciones más grandes.

\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9}$

Método: Factorización y simplificación

Escribimos la expresión
Una fracción algebraica es un cociente de polinomios. Para simplificar u operar, el método es siempre el mismo: factorizar todo.
$(\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9})$
Factorizamos numerador y denominador
Escribimos todo como producto para ver qué factores se repiten arriba y abajo.
$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 3 ) ^{2}}$
Anotamos las restricciones
El denominador no puede ser 0: los valores que lo anulan quedan excluidos (aunque después se simplifiquen).
$x \neq = - 3$
Simplificamos
Tachamos los factores que están en el numerador y en el denominador (se puede porque son multiplicaciones).
$\frac{x - 3}{x + 3}$
Verificamos
Reemplazamos x por un número cualquiera (que no anule denominadores) en la expresión original y en el resultado.
$x = 2, 37 : - 0, 117318 = - 0, 117318 ✓$

Resultado

\frac{x - 3}{x + 3} (x \neq = - 3)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$

Método: Factorización y simplificación

Escribimos la expresión
Una fracción algebraica es un cociente de polinomios. Para simplificar u operar, el método es siempre el mismo: factorizar todo.
$(\frac{1}{x - 1}) + (\frac{2}{x + 1})$
Factorizamos los denominadores
Así se ve qué factores tienen en común y cuál es el denominador común (el mínimo común múltiplo).
$x - 1 = x - 1$
$x + 1 = x + 1$
Buscamos el denominador común
Multiplicamos cada numerador por lo que le falta a su denominador para llegar al común.
$com \overset{u}{ˊ} n: (x - 1) (x + 1)$
$\frac{1 \cdot ( x + 1 ) + 2 \cdot ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$
Factorizamos numerador y denominador
Escribimos todo como producto para ver qué factores se repiten arriba y abajo.
$\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 1} = \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$
Anotamos las restricciones
El denominador no puede ser 0: los valores que lo anulan quedan excluidos (aunque después se simplifiquen).
$x \neq = 1, - 1$
Simplificamos
No hay factores comunes: la fracción ya está simplificada.
$\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$
Verificamos
Reemplazamos x por un número cualquiera (que no anule denominadores) en la expresión original y en el resultado.
$x = 2, 37 : 1, 323399 = 1, 323399 ✓$

Resultado

\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x \neq = 1, - 1)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: (x^2-4)/(x+1) * (x+1)/(x-2)

Método: Factorización y simplificación

Escribimos la expresión
Una fracción algebraica es un cociente de polinomios. Para simplificar u operar, el método es siempre el mismo: factorizar todo.
$\frac{\frac{x ^{2} - 4}{x + 1} \cdot ( x + 1 )}{x - 2}$
Factorizamos numerador y denominador
Escribimos todo como producto para ver qué factores se repiten arriba y abajo.
$\frac{x ^{3} + x ^{2} - 4 x - 4}{x ^{2} - x - 2} = \frac{( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )}$
Anotamos las restricciones
El denominador no puede ser 0: los valores que lo anulan quedan excluidos (aunque después se simplifiquen).
$x \neq = 2, - 1$
Simplificamos
Tachamos los factores que están en el numerador y en el denominador (se puede porque son multiplicaciones).
$x + 2$
Verificamos
Reemplazamos x por un número cualquiera (que no anule denominadores) en la expresión original y en el resultado.
$x = 2, 37 : 4, 37 = 4, 37 ✓$

Resultado

x + 2 (x \neq = 2, - 1)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Solo se simplifican factores, nunca términos: (x + 2)/2 no es x + 1.
Anotá los valores que anulan los denominadores: no pueden ser solución.

Fracciones algebraicas: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Fracciones

Sumar fracciones

Dominio

Simplificar

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: x2+6x+9x2−9​

Escribimos la expresión

Factorizamos numerador y denominador

Anotamos las restricciones

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: x−11​+x+12​

Escribimos la expresión

Factorizamos los denominadores

Buscamos el denominador común

Factorizamos numerador y denominador

Anotamos las restricciones

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: (x^2-4)/(x+1) * (x+1)/(x-2)

Escribimos la expresión

Factorizamos numerador y denominador

Anotamos las restricciones

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

Más temas de Álgebra

Ejemplo 1: $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9}$

Ejemplo 2: $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$