Factorización: ejercicios resueltos paso a paso

Si todos los términos comparten un factor, lo sacamos afuera de un paréntesis (es la distributiva al revés). Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Factor común

Si todos los términos comparten un factor, lo sacamos afuera de un paréntesis (es la distributiva al revés).

6 x^{3} - 9 x = 3 x (2 x^{2} - 3)

Diferencia de cuadrados

El producto de una suma por una diferencia da la diferencia de los cuadrados; leído al revés, sirve para factorizar.

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Fórmula resolvente

Sale de completar cuadrados en ax² + bx + c = 0. El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Máximo común divisor

Es el mayor número que divide a todos a la vez. Con la factorización en primos se toman los factores comunes con su menor exponente.

12 = 2^{2} \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3^{2} \Rightarrow mcd = 2 \cdot 3 = 6

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es el cuadrado del primero, más el doble producto, más el cuadrado del segundo.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Cubo de un binomio

El cubo de un binomio desarrolla cuatro términos: cubo del primero, triple del primero al cuadrado por el segundo, triple del primero por el segundo al cuadrado y cubo del segundo.

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: factorizar x^3 - 4x

Método: Casos de factoreo

Escribimos la expresión
Factorizar es escribirla como una multiplicación de factores lo más simples posible. Primero la ordenamos y juntamos semejantes.
$x^{3} - 4 x$
$= x^{3} - 4 x$
Factor común
Siempre empezamos buscando lo que se repite en todos los términos: el máximo común divisor de los números y cada letra con su menor exponente. Después dividimos cada término por ese factor común.
$x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4)$
Diferencia de cuadrados
Son dos términos que se restan y los dos son cuadrados perfectos. Se factoriza como la resta de las bases por la suma de las bases: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$a = x, b = 2$
$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$
$Queda: x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)$
Verificamos
Multiplicamos todos los factores (con la distributiva) y tiene que volver a dar la expresión original.
$x (x - 2) (x + 2) = x^{3} - 4 x ✓$

Resultado

x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)

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Ejemplo 2: factorizar x^3 + 2x^2 + 3x + 6

Método: Casos de factoreo

Escribimos la expresión
Factorizar es escribirla como una multiplicación de factores lo más simples posible. Primero la ordenamos y juntamos semejantes.
$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$
$= x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Factor común por grupos
Tiene cuatro términos sin un factor común a todos. Los agrupamos de a dos, sacamos factor común en cada grupo y, como queda el mismo paréntesis, lo sacamos de nuevo como factor común.
$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6 = (x^{3} + 2 x^{2}) + (3 x + 6)$
$= x^{2} (x + 2) + 3 (x + 2)$
$= (x + 2) (x^{2} + 3)$
$Queda: x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6 = (x + 2) (x^{2} + 3)$
Revisamos si se puede seguir
El factor $x^{2} + 3$ es de grado 2 y su discriminante es negativo: no tiene raíces reales, así que no se puede factorizar más en los números reales.
$Δ = b^{2} - 4 a c = - 12$
Verificamos
Multiplicamos todos los factores (con la distributiva) y tiene que volver a dar la expresión original.
$(x + 2) (x^{2} + 3) = x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6 ✓$

Resultado

x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6 = (x + 2) (x^{2} + 3)

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Ejemplo 3: factorizar x^2 + 10x + 25

Método: Casos de factoreo

Escribimos la expresión
Factorizar es escribirla como una multiplicación de factores lo más simples posible. Primero la ordenamos y juntamos semejantes.
$x^{2} + 10 x + 25$
$= x^{2} + 10 x + 25$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Trinomio cuadrado perfecto
Tiene tres términos: dos son cuadrados perfectos (de $x$ y de $5$ ) y el otro es el doble producto de esas bases. Entonces es el cuadrado de un binomio: $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ .
$2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$
$x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$
$Queda: x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$
Verificamos
Multiplicamos todos los factores (con la distributiva) y tiene que volver a dar la expresión original.
$(x + 5)^{2} = x^{2} + 10 x + 25 ✓$

Resultado

x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}

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Ejemplo 4: factorizar x^3 - 6x^2 + 12x - 8

Método: Casos de factoreo

Escribimos la expresión
Factorizar es escribirla como una multiplicación de factores lo más simples posible. Primero la ordenamos y juntamos semejantes.
$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$
$= x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Cuatrinomio cubo perfecto
El primero y el último términos son cubos perfectos, y los del medio son los triples productos $3 a^{2} b$ y $3 a b^{2}$ . Es el cubo de un binomio: $(a + b)^{3}$ .
$a = x, b = - 2$
$3 a^{2} b = - 6 x^{2}, 3 a b^{2} = 12 x$
$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = (x - 2)^{3}$
$Queda: x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = (x - 2)^{3}$
Verificamos
Multiplicamos todos los factores (con la distributiva) y tiene que volver a dar la expresión original.
$(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 ✓$

Resultado

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = (x - 2)^{3}

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Ejemplo 5: factorizar 4a^2 - 9b^2

Método: Casos de factoreo

Escribimos la expresión
Factorizar es escribirla como una multiplicación de factores lo más simples posible. Primero la ordenamos y juntamos semejantes.
$4 a^{2} - 9 b^{2}$
$= 4 a^{2} - 9 b^{2}$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Diferencia de cuadrados
Son dos términos que se restan y los dos son cuadrados perfectos. Se factoriza como la resta de las bases por la suma de las bases: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$a = 2 a, b = 3 b$
$4 a^{2} - 9 b^{2} = (2 a - 3 b) (2 a + 3 b)$
$Queda: 4 a^{2} - 9 b^{2} = (2 a - 3 b) (2 a + 3 b)$
Verificamos
Multiplicamos todos los factores (con la distributiva) y tiene que volver a dar la expresión original.
$(2 a - 3 b) (2 a + 3 b) = 4 a^{2} - 9 b^{2} ✓$

Resultado

4 a^{2} - 9 b^{2} = (2 a - 3 b) (2 a + 3 b)

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Ejemplo 6: factorizar x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Método: Casos de factoreo

Escribimos la expresión
Factorizar es escribirla como una multiplicación de factores lo más simples posible. Primero la ordenamos y juntamos semejantes.
$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$
$= x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$
Buscamos factor común
Siempre empezamos por acá. En este caso no hay un número ni una letra que se repita en todos los términos, así que pasamos a los otros casos.
Teorema de Gauss y regla de Ruffini
Usamos el teorema de Gauss: si hay una raíz racional p/q, p divide al término independiente (6) y q divide al coeficiente principal (1). Probamos hasta que una da 0. Como P(1) = 0, el polinomio se divide por $(x - 1)$ y hacemos la división con Ruffini.
$posibles ra \overset{ı}{ˊ} ces: \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
$P (1) = 0$
$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$
$Queda: x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$
$1$ $- 2$ $- 5$ $6$
$1$ $1$ $- 1$ $- 6$
$1$ $- 1$ $- 6$ $0$
Trinomio de segundo grado
Si las raíces son $x_{1}$ y $x_{2}$ , el trinomio se escribe $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Buscamos las raíces con la fórmula resolvente.
$Δ = b^{2} - 4 a c = 25$
$x_{1} = 3, x_{2} = - 2$
$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$
$Queda: x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x - 3) (x + 2)$
Verificamos
Multiplicamos todos los factores (con la distributiva) y tiene que volver a dar la expresión original.
$(x - 1) (x - 3) (x + 2) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 ✓$

	$1$	$- 2$	$- 5$	$6$
$1$		$1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$- 1$	$- 6$	$0$

Resultado

x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

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Ojo con…

Primero buscá factor común; recién después probá otros casos.
Verificá multiplicando: si al distribuir no volvés a la expresión original, hay un error.
a² + b² no se factoriza con números reales.

Factorización: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Factor común

Diferencia de cuadrados

Fórmula resolvente

Máximo común divisor

Cuadrado de un binomio

Cubo de un binomio

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: factorizar x^3 - 4x

Escribimos la expresión

Factor común

Diferencia de cuadrados

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: factorizar x^3 + 2x^2 + 3x + 6

Escribimos la expresión

Buscamos factor común

Factor común por grupos

Revisamos si se puede seguir

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: factorizar x^2 + 10x + 25

Escribimos la expresión

Buscamos factor común

Trinomio cuadrado perfecto

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: factorizar x^3 - 6x^2 + 12x - 8

Escribimos la expresión

Buscamos factor común

Cuatrinomio cubo perfecto

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: factorizar 4a^2 - 9b^2

Escribimos la expresión

Buscamos factor común

Diferencia de cuadrados

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: factorizar x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Escribimos la expresión

Buscamos factor común

Teorema de Gauss y regla de Ruffini

Trinomio de segundo grado

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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