Conceptos básicos: ejercicios resueltos paso a paso

Dividendo = divisor · cociente + resto, con el resto menor que el divisor. Cada paso de la división larga baja una cifra y busca cuántas veces entra el divisor. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

División entera

Dividendo = divisor · cociente + resto, con el resto menor que el divisor. Cada paso de la división larga baja una cifra y busca cuántas veces entra el divisor.

47 = 5 \cdot 9 + 2

Regla de Ruffini

Es una forma abreviada de dividir un polinomio por (x − a): se bajan los coeficientes, se multiplica por a y se suma. El último número es el resto.

si el resto es 0, (x - a) es factor

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Términos semejantes

Solo se pueden sumar términos que tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes): se suman sus coeficientes.

3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x = 2 x^{2} + 7 x

Jerarquía de las operaciones

Primero se resuelven los paréntesis, después potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y por último sumas y restas. Si no respetamos ese orden, la misma cuenta da resultados distintos.

2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14 \neq = 20

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: valor numérico de 3x^2 - 2y para x = 2, y = -1

Método: Valor numérico por reemplazo

Escribimos la expresión y los valores
Calcular el valor numérico es reemplazar cada letra por su valor y hacer la cuenta.
$3 x^{2} - 2 y$
$x = 2, y = - 1$
Reemplazamos
Ponemos cada valor entre paréntesis, sobre todo si es negativo, para no equivocarnos con los signos.
$3 \cdot (2)^{2} - 2 \cdot (- 1)$
Calculamos
Resolvemos respetando la jerarquía: primero potencias, después multiplicaciones y al final sumas y restas.
$12 + 2 = 14$
Verificamos
Repetimos la cuenta con decimales, como una calculadora.
$3 \cdot (2)^{2} - 2 \cdot (- 1) \approx 14 ✓$

Resultado

14

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: $3 x + 2 y - x + 5 y$

Método: Propiedad distributiva y términos semejantes

Escribimos la expresión
Los términos semejantes son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes: solo esos se pueden sumar entre sí.
$3 x + 2 y - x + 5 y$
Agrupamos términos semejantes
Juntamos los términos semejantes y sumamos sus coeficientes (los números de adelante). La parte con letras queda igual.
$(3 x - x) + (2 y + 5 y)$
$2 x + 7 y$
Describimos el resultado
Es un binomio en x, y.
$grado: 1$
$t \overset{e}{ˊ} rmino independiente: 0$
Verificamos
Reemplazamos las letras por números cualesquiera en la expresión original y en el resultado: tienen que dar lo mismo.
$x = 2, y = 3 : 25 = 25 ✓$

Resultado

2 x + 7 y

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: $2 (x + 3) - 3 (x - 1) + x^{2}$

Método: Propiedad distributiva y términos semejantes

Escribimos la expresión
Los términos semejantes son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes: solo esos se pueden sumar entre sí.
$2 (x + 3) - 3 (x - 1) + x^{2}$
Aplicamos la propiedad distributiva
Multiplicamos cada término de un paréntesis por cada término del otro (y el signo de adelante, si hay un menos, cambia todos los signos de adentro). Las letras iguales suman sus exponentes.
$2 x + 6 - 3 x + 3 + x^{2}$
Agrupamos términos semejantes
Juntamos los términos semejantes y sumamos sus coeficientes (los números de adelante). La parte con letras queda igual.
$x^{2} + (2 x - 3 x) + (6 + 3)$
$x^{2} - x + 9$
Describimos el resultado
Es un trinomio en x.
$grado: 2$
$t \overset{e}{ˊ} rmino independiente: 9$
$coeficiente principal: 1$
Verificamos
Reemplazamos las letras por números cualesquiera en la expresión original y en el resultado: tienen que dar lo mismo.
$x = 2 : 11 = 11 ✓$

Resultado

x^{2} - x + 9

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: (x^3 - 2x + 1) : (x - 1)

Método: Regla de Ruffini

Escribimos la división
Ordenamos dividendo y divisor de mayor a menor grado. Si falta algún grado, conviene pensarlo con coeficiente 0.
$(x^{3} - 2 x + 1) : (x - 1)$
Elegimos la regla de Ruffini
El divisor es de la forma x − a con a = 1, así que podemos usar Ruffini: bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos por a, lo sumamos al siguiente y repetimos. El último número es el resto.
$1$ $0$ $- 2$ $1$
$1$ $1$ $1$ $- 1$
$1$ $1$ $- 1$ $0$
Cociente y resto
El resto es 0: la división es exacta, así que el divisor es un factor del dividendo.
$C (x) = x^{2} + x - 1$
$R (x) = 0$
Verificamos
Se tiene que cumplir: dividendo = divisor · cociente + resto.
$(x - 1) \cdot (x^{2} + x - 1) + 0 = x^{3} - 2 x + 1 ✓$

	$1$	$0$	$- 2$	$1$
$1$		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$0$

Resultado

C (x) = x^{2} + x - 1, R (x) = 0

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Solo se suman términos semejantes: 3x + 2x² no se puede juntar.
Al reemplazar un valor negativo, ponelo entre paréntesis: si x = −2, x² = (−2)² = 4.

Conceptos básicos: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

División entera

Regla de Ruffini

Propiedades de las potencias

Términos semejantes

Jerarquía de las operaciones

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: valor numérico de 3x^2 - 2y para x = 2, y = -1

Escribimos la expresión y los valores

Reemplazamos

Calculamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: 3x+2y−x+5y

Escribimos la expresión

Agrupamos términos semejantes

Describimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: 2(x+3)−3(x−1)+x2

Escribimos la expresión

Aplicamos la propiedad distributiva

Agrupamos términos semejantes

Describimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: (x^3 - 2x + 1) : (x - 1)

Escribimos la división

Elegimos la regla de Ruffini

Cociente y resto

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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Ejemplo 3: $2 (x + 3) - 3 (x - 1) + x^{2}$