Función lineal: ejercicios resueltos paso a paso

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Raíces

Una raíz se puede simplificar sacando los factores que tienen exponente igual al índice. Para racionalizar multiplicamos arriba y abajo por lo que hace desaparecer la raíz del denominador.

72 = 36 \cdot 2 = 62

Despejar

En una igualdad podemos hacer lo mismo de los dos lados sin que deje de ser cierta. “Pasar restando” es en realidad restar lo mismo en ambos miembros.

2 x + 3 = 11 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: y = 2x - 3

Método: Pendiente y ordenada al origen

Escribimos la función
Una función lineal tiene la forma y = mx + b: m es la pendiente y b la ordenada al origen.
$y = 2 x - 3$
Identificamos pendiente y ordenada
Como la pendiente es positiva, la función es creciente. La ordenada al origen es donde la recta corta al eje y.
$m = 2, b = - 3$
$corta al eje y en (0; - 3)$
Calculamos la raíz
La raíz es donde la recta corta al eje x: hacemos y = 0 y despejamos x.
$0 = 2 x - 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
Tabla de valores y gráfico
Para graficar alcanza con dos puntos. Usamos la ordenada al origen y la pendiente: desde (0; b) avanzamos 1 en x y subimos (o bajamos) m en y.
x y
-1 $- 5$
0 $- 3$
1 $- 1$
2 $1$
Verificamos
Si x aumenta 1, y tiene que aumentar exactamente m.
$x = 2 : y = 1, x = 3 : y = 3 \Rightarrow diferencia = 2 = m ✓$

x	y
-1	$- 5$
0	$- 3$
1	$- 1$
2	$1$

Resultado

y = 2 x - 3

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: recta que pasa por (1, 2) y (3, 8)

Método: Recta por dos puntos

Calculamos la pendiente
La pendiente es cuánto cambia y cuando x aumenta 1: el cociente entre la variación de y y la variación de x.
$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$
Calculamos la ordenada al origen
Reemplazamos uno de los puntos en y = mx + b y despejamos b.
$2 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = - 1$
Identificamos pendiente y ordenada
Como la pendiente es positiva, la función es creciente. La ordenada al origen es donde la recta corta al eje y.
$m = 3, b = - 1$
$corta al eje y en (0; - 1)$
Calculamos la raíz
La raíz es donde la recta corta al eje x: hacemos y = 0 y despejamos x.
$0 = 3 x - 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$
Tabla de valores y gráfico
Para graficar alcanza con dos puntos. Usamos la ordenada al origen y la pendiente: desde (0; b) avanzamos 1 en x y subimos (o bajamos) m en y.
x y
-1 $- 4$
0 $- 1$
1 $2$
2 $5$
Verificamos
Reemplazamos los puntos dados en la fórmula: tienen que cumplirla.
$3 \cdot 1 + (- 1) = 2 = 2 ✓$
$3 \cdot 3 + (- 1) = 8 = 8 ✓$

x	y
-1	$- 4$
0	$- 1$
1	$2$
2	$5$

Resultado

y = 3 x - 1

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: pendiente 3 y pasa por (1, 5)

Método: Pendiente y ordenada al origen

Usamos la pendiente y el punto
Reemplazamos el punto en y = mx + b y despejamos b.
$5 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2$
Identificamos pendiente y ordenada
Como la pendiente es positiva, la función es creciente. La ordenada al origen es donde la recta corta al eje y.
$m = 3, b = 2$
$corta al eje y en (0; 2)$
Calculamos la raíz
La raíz es donde la recta corta al eje x: hacemos y = 0 y despejamos x.
$0 = 3 x + 2 \Rightarrow x = - \frac{2}{3}$
Tabla de valores y gráfico
Para graficar alcanza con dos puntos. Usamos la ordenada al origen y la pendiente: desde (0; b) avanzamos 1 en x y subimos (o bajamos) m en y.
x y
-1 $- 1$
0 $2$
1 $5$
2 $8$
Verificamos
Reemplazamos los puntos dados en la fórmula: tienen que cumplirla.
$3 \cdot 1 + 2 = 5 = 5 ✓$

x	y
-1	$- 1$
0	$2$
1	$5$
2	$8$

Resultado

y = 3 x + 2

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

La pendiente es el número que multiplica a x; la ordenada al origen, el término independiente.
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1, no si son opuestas.

Función lineal: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Pendiente

Raíces

Despejar

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: y = 2x - 3

Escribimos la función

Identificamos pendiente y ordenada

Calculamos la raíz

Tabla de valores y gráfico

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: recta que pasa por (1, 2) y (3, 8)

Calculamos la pendiente

Calculamos la ordenada al origen

Identificamos pendiente y ordenada

Calculamos la raíz

Tabla de valores y gráfico

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: pendiente 3 y pasa por (1, 5)

Usamos la pendiente y el punto

Identificamos pendiente y ordenada

Calculamos la raíz

Tabla de valores y gráfico

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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