Productos notables: ejercicios resueltos paso a paso

Los valores de 30°, 45° y 60° salen de un triángulo equilátero partido al medio y de un cuadrado cortado por su diagonal. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Ángulos notables

Los valores de 30°, 45° y 60° salen de un triángulo equilátero partido al medio y de un cuadrado cortado por su diagonal.

sen 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}, tg 6 0^{\circ} = 3

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es el cuadrado del primero, más el doble producto, más el cuadrado del segundo.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Términos semejantes

Solo se pueden sumar términos que tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes): se suman sus coeficientes.

3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x = 2 x^{2} + 7 x

Propiedad distributiva

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis.

3 (x + 2) = 3 x + 6

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: $(x + 3)^{2}$

Método: Cuadrado de un binomio

Escribimos la expresión
Antes de multiplicar término a término, nos fijamos si es un producto notable: tiene una fórmula que ahorra cuentas.
$(x + 3)^{2}$
Reconocemos el producto notable
Es el cuadrado de un binomio: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . El cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
$a = x, b = 3$
Aplicamos la fórmula
Calculamos cada término por separado.
$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}$
$= x^{2} + 6 x + 9$
Ordenamos el resultado
Juntamos semejantes (si hay) y ordenamos de mayor a menor grado.
$x^{2} + 6 x + 9$
Verificamos
Hacemos la multiplicación completa con la propiedad distributiva: tiene que dar lo mismo que con la fórmula.
$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9 ✓$

Resultado

x^{2} + 6 x + 9

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Ejemplo 2: $(2 a - b)^{2}$

Método: Cuadrado de un binomio

Escribimos la expresión
Antes de multiplicar término a término, nos fijamos si es un producto notable: tiene una fórmula que ahorra cuentas.
$(2 a - b)^{2}$
Reconocemos el producto notable
Es el cuadrado de un binomio: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ . El cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
$a = 2 a, b = b$
Aplicamos la fórmula
Calculamos cada término por separado.
$2 a^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot b + b^{2}$
$= 4 a^{2} - 4 ab + b^{2}$
Ordenamos el resultado
Juntamos semejantes (si hay) y ordenamos de mayor a menor grado.
$4 a^{2} - 4 ab + b^{2}$
Verificamos
Hacemos la multiplicación completa con la propiedad distributiva: tiene que dar lo mismo que con la fórmula.
$(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} - 4 ab + b^{2} ✓$

Resultado

4 a^{2} - 4 ab + b^{2}

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Ejemplo 3: $(x + 2) (x - 2)$

Método: Suma por diferencia

Escribimos la expresión
Antes de multiplicar término a término, nos fijamos si es un producto notable: tiene una fórmula que ahorra cuentas.
$(x + 2) (x - 2)$
Reconocemos el producto notable
Es una suma por una diferencia de los mismos términos: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ . Los términos del medio se cancelan.
$a = x, b = 2$
Aplicamos la fórmula
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo.
$x^{2} - 2^{2} = x^{2} - 4$
Ordenamos el resultado
Juntamos semejantes (si hay) y ordenamos de mayor a menor grado.
$x^{2} - 4$
Verificamos
Hacemos la multiplicación completa con la propiedad distributiva: tiene que dar lo mismo que con la fórmula.
$(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4 ✓$

Resultado

x^{2} - 4

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: $(x - 1)^{3}$

Método: Cubo de un binomio

Escribimos la expresión
Antes de multiplicar término a término, nos fijamos si es un producto notable: tiene una fórmula que ahorra cuentas.
$(x - 1)^{3}$
Reconocemos el producto notable
Es el cubo de un binomio: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .
$a = x, b = 1$
Aplicamos la fórmula
Calculamos cada uno de los cuatro términos.
$x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} - 1^{3}$
$= x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
Ordenamos el resultado
Juntamos semejantes (si hay) y ordenamos de mayor a menor grado.
$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
Verificamos
Hacemos la multiplicación completa con la propiedad distributiva: tiene que dar lo mismo que con la fórmula.
$(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 ✓$

Resultado

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

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Ejemplo 5: $(x + 3) (x + 5)$

Método: Producto de binomios con un término común

Escribimos la expresión
Antes de multiplicar término a término, nos fijamos si es un producto notable: tiene una fórmula que ahorra cuentas.
$(x + 3) (x + 5)$
Reconocemos el producto notable
Los dos binomios tienen un término común: $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$ .
$x = x, a = 3, b = 5$
Aplicamos la fórmula
El cuadrado del término común, más la suma de los otros por el común, más el producto de los otros.
$x^{2} + (3 + 5) \cdot x + 3 \cdot 5$
$= x^{2} + 8 x + 15$
Ordenamos el resultado
Juntamos semejantes (si hay) y ordenamos de mayor a menor grado.
$x^{2} + 8 x + 15$
Verificamos
Hacemos la multiplicación completa con la propiedad distributiva: tiene que dar lo mismo que con la fórmula.
$(x + 3) (x + 5) = x^{2} + 8 x + 15 ✓$

Resultado

x^{2} + 8 x + 15

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Ojo con…

(a − b)² = a² − 2ab + b²: el último término siempre es positivo.
(a + b)(a − b) = a² − b²: no queda término del medio.

Productos notables: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Ángulos notables

Cuadrado de un binomio

Términos semejantes

Propiedad distributiva

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: (x+3)2

Escribimos la expresión

Reconocemos el producto notable

Aplicamos la fórmula

Ordenamos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: (2a−b)2

Escribimos la expresión

Reconocemos el producto notable

Aplicamos la fórmula

Ordenamos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: (x+2)(x−2)

Escribimos la expresión

Reconocemos el producto notable

Aplicamos la fórmula

Ordenamos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: (x−1)3

Escribimos la expresión

Reconocemos el producto notable

Aplicamos la fórmula

Ordenamos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: (x+3)(x+5)

Escribimos la expresión

Reconocemos el producto notable

Aplicamos la fórmula

Ordenamos el resultado

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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