Variables aleatorias y distribuciones: ejercicios resueltos paso a paso

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis. Acá tenés 7 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Propiedad distributiva

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis.

3 (x + 2) = 3 x + 6

Varianza y desviación

Miden cuánto se alejan los datos de la media. Elevamos al cuadrado para que los desvíos positivos y negativos no se cancelen; la raíz devuelve las unidades originales.

σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Ley de los Grandes Números

Si repetimos un experimento muchas veces, la proporción de veces que ocurre un suceso se acerca a su probabilidad.

f_{n} = \frac{e ˊ xitos}{n} \to p

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Diagramas de árbol

En cada rama va la probabilidad de ese paso (teniendo en cuenta lo anterior). Un camino se calcula multiplicando y varios caminos, sumando.

P (RR) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

Media

Es el punto de equilibrio de los datos: si los datos fueran pesas sobre una regla, la media es donde la regla queda en equilibrio.

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: binomial n = 10, p = 0,3, P(X = 4)

Método: Distribución binomial

Anotamos el modelo
Binomial: se repite 10 veces un experimento con dos resultados (éxito con probabilidad p = 0,3) de forma independiente, y X cuenta los éxitos.
$X \sim B (10; 0, 3)$
$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
Reemplazamos en la fórmula
El número combinatorio cuenta de cuántas maneras pueden ubicarse los éxitos.
$P (X = 4) = (4 10) \cdot 0, 3^{4} \cdot 0, 7^{6} = 210 \cdot 0, 0081 \cdot 0, 117649$
Sumamos las probabilidades
Calculamos P(X = k) para cada valor que cumple la condición.
$P (X = 4) = P (X = 4)$
$= 0, 2001 = 0, 2001$
Media, varianza y desviación
Para la binomial: E(X) = n·p y V(X) = n·p·(1 − p).
$E (X) = 10 \cdot 0, 3 = 3$
$V (X) = 10 \cdot 0, 3 \cdot 0, 7 = 2, 1, σ = 1, 4491$
Verificamos
La suma de P(X = k) para k = 0, …, n tiene que dar 1 (y la media calculada con la tabla coincide con n·p).
$k = 0 \sum 10 P (X = k) = 1 ✓$
$\sum k P (X = k) = 3 ✓$

Resultado

P (X = 4) = 0, 2001

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Ejemplo 2: binomial n = 20, p = 0,1, al menos 2

Método: Distribución binomial

Anotamos el modelo
Binomial: se repite 20 veces un experimento con dos resultados (éxito con probabilidad p = 0,1) de forma independiente, y X cuenta los éxitos.
$X \sim B (20; 0, 1)$
$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
Usamos el complemento
Es más corto calcular los casos que NO cumplen y restar de 1.
$P (X \geq 2) = 1 - (P (X = 0) + P (X = 1))$
$= 1 - (0, 1216 + 0, 2702) = 0, 6083$
Media, varianza y desviación
Para la binomial: E(X) = n·p y V(X) = n·p·(1 − p).
$E (X) = 20 \cdot 0, 1 = 2$
$V (X) = 20 \cdot 0, 1 \cdot 0, 9 = 1, 8, σ = 1, 3416$
Verificamos
La suma de P(X = k) para k = 0, …, n tiene que dar 1 (y la media calculada con la tabla coincide con n·p).
$k = 0 \sum 20 P (X = k) = 1 ✓$
$\sum k P (X = k) = 2 ✓$

Resultado

P (X \geq 2) = 0, 6083

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Ejemplo 3: Poisson λ = 3, P(X = 2)

Método: Distribución de Poisson

Anotamos el modelo
Poisson cuenta cuántas veces ocurre un suceso en un intervalo (de tiempo, espacio…) cuando ocurre en promedio λ veces.
$X \sim P (3)$
$P (X = k) = \frac{e ^{- λ} λ ^{k}}{k !}$
Sumamos las probabilidades
Calculamos P(X = k) para cada valor que cumple la condición.
$P (X = 2) = P (X = 2)$
$= 0, 224 = 0, 224$
Media y varianza
En la distribución de Poisson la media y la varianza son iguales a λ.
$E (X) = V (X) = 3$
Verificamos
La suma de todas las probabilidades tiene que dar 1.
$k = 0 \sum 31 P (X = k) \approx 1 ✓$

Resultado

P (X = 2) = 0, 224

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Ejemplo 4: normal μ = 50, σ = 10, P(40 < X < 60)

Método: Distribución normal

Anotamos los parámetros
X tiene distribución normal de media μ y desviación σ: su gráfico es la campana de Gauss, simétrica alrededor de μ.
$X \sim N (50; 10)$
Estandarizamos
Pasamos a la normal estándar Z ~ N(0; 1) con $z = \frac{x - μ}{σ}$ . (En una variable continua da lo mismo < que ≤.)
$z_{1} = \frac{40 - ( 50 )}{10} = - 1$
$z_{2} = \frac{60 - ( 50 )}{10} = 1$
Buscamos en la tabla de la normal
Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para “mayor que” restamos de 1; para “entre” restamos las dos áreas.
$Φ (1) - Φ (- 1) = 0, 8413 - 0, 1587 = 0, 6827$
Verificamos
Calculamos el área bajo la campana con integración numérica (regla de Simpson).
$\int \approx 0, 6827 ✓$

Resultado

P = 0, 6827

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Ejemplo 5: normal μ = 100, σ = 15, percentil 90

Método: Normal inversa

Anotamos los parámetros
X tiene distribución normal de media μ y desviación σ: su gráfico es la campana de Gauss, simétrica alrededor de μ.
$X \sim N (100; 15)$
Buscamos z en la tabla (al revés)
Buscamos el z que deja un área 0,9 a la izquierda: Φ(z) = 0,9.
$z = 1, 2816$
Volvemos a la variable X
Despejamos de z = (x − μ)/σ.
$x = μ + z σ = 100 + (1, 2816) \cdot 15 = 119, 2233$
Verificamos
Calculamos la probabilidad acumulada hasta ese valor.
$P (X < 119, 2233) = Φ (1, 2816) = 0, 9 ✓$

Resultado

x = 119, 2233

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Ejemplo 6: variable aleatoria x: 0, 1, 2, 3; p: 0,1; 0,3; 0,4; 0,2

Método: Variable aleatoria discreta

Revisamos que sea una distribución
Cada probabilidad tiene que estar entre 0 y 1 y todas tienen que sumar 1.
$\sum p_{i} = 0, 1 + 0, 3 + 0, 4 + 0, 2 = 1$
Calculamos la esperanza
Es el promedio “a la larga”: cada valor pesado por su probabilidad.
$E (X) = \sum x_{i} p_{i} = 0 \cdot 0, 1 + 1 \cdot 0, 3 + 2 \cdot 0, 4 + 3 \cdot 0, 2 = 1, 7$
Calculamos la varianza y la desviación
V(X) = E(X²) − [E(X)]².
$E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i} = 3, 7$
$V (X) = 3, 7 - 1, 7^{2} = 0, 81, σ = 0, 9$
Verificamos
Calculamos la varianza con la definición: Σ(xᵢ − E)²·pᵢ.
$0, 81 = 0, 81 ✓$

Resultado

E (X) = 1, 7, V (X) = 0, 81, σ = 0, 9

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Ejemplo 7: ley de los grandes números con un dado

Método: Ley de los Grandes Números

Planteamos el experimento
Repetimos muchas veces el experimento “sacar un 6 con un dado”, cuya probabilidad teórica es p = 0,1667.
$p = 0, 1667$
Simulamos y calculamos la frecuencia relativa
Cuantas más repeticiones, más se acerca la frecuencia relativa a la probabilidad teórica: eso dice la Ley de los Grandes Números.
Repeticiones Frecuencia relativa Diferencia con p
10 0 0,1667
50 0,08 0,0867
100 0,09 0,0767
500 0,156 0,0107
1000 0,162 0,0047
5000 0,1726 0,0059
10000 0,1706 0,0039
Lo vemos en un gráfico
La línea azul es la frecuencia relativa; la punteada, la probabilidad teórica.
Verificamos
La diferencia con p tiene que achicarse al aumentar las repeticiones.
$∣ f_{10} - p ∣ = 0, 1667 \to ∣ f_{10000} - p ∣ = 0, 0039 ✓$

Repeticiones	Frecuencia relativa	Diferencia con p
10	0	0,1667
50	0,08	0,0867
100	0,09	0,0767
500	0,156	0,0107
1000	0,162	0,0047
5000	0,1726	0,0059
10000	0,1706	0,0039

Resultado

f_{10000} = 0, 1706 \approx p = 0, 1667

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Ojo con…

En la binomial, “al menos” suele ser más fácil por el complemento.
En la normal, P(X < a) y P(X ≤ a) son iguales; en la binomial, no.

Variables aleatorias y distribuciones: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Propiedad distributiva

Varianza y desviación

Ley de los Grandes Números

Pendiente

Diagramas de árbol

Media

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: binomial n = 10, p = 0,3, P(X = 4)

Anotamos el modelo

Reemplazamos en la fórmula

Sumamos las probabilidades

Media, varianza y desviación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: binomial n = 20, p = 0,1, al menos 2

Anotamos el modelo

Usamos el complemento

Media, varianza y desviación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: Poisson λ = 3, P(X = 2)

Anotamos el modelo

Sumamos las probabilidades

Media y varianza

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: normal μ = 50, σ = 10, P(40 < X < 60)

Anotamos los parámetros

Estandarizamos

Buscamos en la tabla de la normal

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: normal μ = 100, σ = 15, percentil 90

Anotamos los parámetros

Buscamos z en la tabla (al revés)

Volvemos a la variable X

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: variable aleatoria x: 0, 1, 2, 3; p: 0,1; 0,3; 0,4; 0,2

Revisamos que sea una distribución

Calculamos la esperanza

Calculamos la varianza y la desviación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 7: ley de los grandes números con un dado

Planteamos el experimento

Simulamos y calculamos la frecuencia relativa

Lo vemos en un gráfico

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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