Contraste de hipótesis: ejercicios resueltos paso a paso

Suponemos H₀ cierta y vemos qué tan raro sería lo observado. Si es muy raro (p < α), dudamos de H₀ y la rechazamos. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Contraste de hipótesis

Suponemos H₀ cierta y vemos qué tan raro sería lo observado. Si es muy raro (p < α), dudamos de H₀ y la rechazamos.

p < α \Rightarrow se rechaza H_{0}

Inferencia

Con una muestra estimamos lo que pasa en toda la población. Como la muestra varía, se trabaja con distribuciones (normal, t, chi-cuadrado) para medir cuánto confiar.

t = \frac{x ˉ - μ _{0}}{s / n}

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Varianza y desviación

Miden cuánto se alejan los datos de la media. Elevamos al cuadrado para que los desvíos positivos y negativos no se cancelen; la raíz devuelve las unidades originales.

σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Estandarizar

Toda normal se transforma en la normal estándar restando la media y dividiendo por la desviación: z dice a cuántas desviaciones está el valor de la media.

z = \frac{x - μ}{σ}

Propiedad distributiva

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis.

3 (x + 2) = 3 x + 6

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: contraste de hipótesis: μ0 = 50, x̄ = 53, s = 6, n = 36, α = 0,05, la media es mayor

Método: Prueba t de Student para la media

Planteamos las hipótesis
H₀ es la afirmación que se pone a prueba (lleva el igual); H₁ es lo que queremos ver si los datos apoyan.
$H_{0} : μ = 50$
$H_{1} : μ > 50$
$α = 0, 05 (probabilidad de error tipo I: rechazar H_{0} siendo cierta)$
Calculamos el estadístico t de Student
σ es desconocida: usamos t con 35 grados de libertad.
$t = \frac{x ˉ - μ _{0}}{s / n} = \frac{53 - ( 50 )}{6/ 36} = 3$
Calculamos el valor p y decidimos
El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si H₀ fuera cierta. Si p < α (= 0,05), rechazamos H₀.
$p -valor = 0, 0025 < α = 0, 05 \Rightarrow se rechaza H_{0}$
$Los datos muestran una diferencia significativa con el valor de H₀.$
Verificamos
Comparamos también el estadístico con el valor crítico: la decisión tiene que coincidir con la del valor p.
$t = 3 > 1, 69 \Rightarrow zona de rechazo ✓$

Resultado

t = 3, p = 0, 0025 \Rightarrow se rechaza H₀

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Ejemplo 2: chi cuadrado observadas: 18, 22, 20, 40

Método: Chi-cuadrado de bondad de ajuste

Planteamos las hipótesis
Prueba de bondad de ajuste: ¿los datos observados siguen la distribución esperada?
$H_{0} : los datos se ajustan a la distribuci \overset{o}{ˊ} n esperada$
$H_{1} : no se ajustan$
Calculamos el estadístico chi-cuadrado
Sumamos (observada − esperada)² / esperada en cada casilla.
$χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E} = \frac{( 18 - 25 ) ^{2}}{25} + \frac{( 22 - 25 ) ^{2}}{25} + \frac{( 20 - 25 ) ^{2}}{25} + \frac{( 40 - 25 ) ^{2}}{25} = 12, 32$
$grados de libertad = 3$
Calculamos el valor p y decidimos
El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si H₀ fuera cierta. Si p < α (= 0,05), rechazamos H₀.
$p -valor = 0, 0064 < α = 0, 05 \Rightarrow se rechaza H_{0}$
$Hay evidencia de que los datos no siguen la distribuci \overset{o}{ˊ} n esperada.$
Verificamos
Comparamos también el estadístico con el valor crítico: la decisión tiene que coincidir con la del valor p.
$χ^{2} = 12, 32 > 7, 815 \Rightarrow zona de rechazo ✓$

Resultado

χ^{2} = 12, 32, p = 0, 0064

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Ejemplo 3: chi cuadrado de independencia: Varones: 20, 30; Mujeres: 35, 15

Método: Chi-cuadrado de independencia

Planteamos las hipótesis
Prueba de independencia: ¿las dos variables de la tabla están relacionadas?
$H_{0} : las variables son independientes$
$H_{1} : est \overset{a}{ˊ} n relacionadas$
Calculamos las frecuencias esperadas
Si fueran independientes, cada casilla esperaría (total de fila × total de columna) / total.
C1 C2
Varones 27,5 22,5
Mujeres 27,5 22,5
Calculamos el estadístico chi-cuadrado
Sumamos (observada − esperada)² / esperada en cada casilla.
$χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E} = \frac{( 20 - 27 , 5 ) ^{2}}{27 , 5} + \frac{( 30 - 22 , 5 ) ^{2}}{22 , 5} + \frac{( 35 - 27 , 5 ) ^{2}}{27 , 5} + \frac{( 15 - 22 , 5 ) ^{2}}{22 , 5} = 9, 0909$
$grados de libertad = 1$
Calculamos el valor p y decidimos
El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si H₀ fuera cierta. Si p < α (= 0,05), rechazamos H₀.
$p -valor = 0, 0026 < α = 0, 05 \Rightarrow se rechaza H_{0}$
$Hay evidencia de relaci \overset{o}{ˊ} n entre las variables.$
Verificamos
Comparamos también el estadístico con el valor crítico: la decisión tiene que coincidir con la del valor p.
$χ^{2} = 9, 091 > 3, 841 \Rightarrow zona de rechazo ✓$

	C1	C2
Varones	27,5	22,5
Mujeres	27,5	22,5

Resultado

χ^{2} = 9, 0909, p = 0, 0026

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Ejemplo 4: prueba t para dos muestras: grupo A: 12, 15, 14, 10, 13; grupo B: 18, 17, 16, 19, 15

Método: Prueba t para dos muestras

Planteamos las hipótesis
Comparamos las medias de dos grupos independientes.
$H_{0} : μ_{1} = μ_{2}$
$H_{1} : μ_{1} \neq = μ_{2}$
Resumimos cada grupo
Media y varianza muestral de cada grupo.
$\overset{x}{ˉ}_{1} = 12, 8, s_{1}^{2} = 3, 7, n_{1} = 5$
$\overset{x}{ˉ}_{2} = 17, s_{2}^{2} = 2, 5, n_{2} = 5$
Calculamos el estadístico t (Welch)
No suponemos varianzas iguales: el error estándar combina las dos varianzas.
$t = \frac{x ˉ _{1} - x ˉ _{2}}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}} = \frac{- 4 , 2}{1 , 1136} = - 3, 772$
$g l \approx 7, 71$
Calculamos el valor p y decidimos
El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si H₀ fuera cierta. Si p < α (= 0,05), rechazamos H₀.
$p -valor = 0, 0058 < α = 0, 05 \Rightarrow se rechaza H_{0}$
$Hay diferencia significativa entre las medias de los grupos.$
Verificamos
Comparamos también el estadístico con el valor crítico: la decisión tiene que coincidir con la del valor p.
$t = - 3, 772 > \pm 2, 321 \Rightarrow zona de rechazo ✓$

Resultado

t = - 3, 772, p = 0, 0058

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Ejemplo 5: contraste μ0 = 100, σ = 15, x̄ = 106, n = 25, μ1 = 108, error tipo II

Método: Prueba z para la media

Planteamos las hipótesis
H₀ es la afirmación que se pone a prueba (lleva el igual); H₁ es lo que queremos ver si los datos apoyan.
$H_{0} : μ = 100$
$H_{1} : μ \neq = 100$
$α = 0, 05 (probabilidad de error tipo I: rechazar H_{0} siendo cierta)$
Calculamos el estadístico z
σ es conocida: usamos la normal.
$z = \frac{x ˉ - μ _{0}}{σ / n} = \frac{106 - ( 100 )}{15/ 25} = 2$
Calculamos el valor p y decidimos
El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si H₀ fuera cierta. Si p < α (= 0,05), rechazamos H₀.
$p -valor = 0, 0455 < α = 0, 05 \Rightarrow se rechaza H_{0}$
$Los datos muestran una diferencia significativa con el valor de H₀.$
Verificamos
Comparamos también el estadístico con el valor crítico: la decisión tiene que coincidir con la del valor p.
$z = 2 > \pm 1, 96 \Rightarrow zona de rechazo ✓$
Calculamos el error tipo II
β es la probabilidad de NO rechazar H₀ cuando en realidad la media es μ₁. La potencia del test es 1 − β.
$β = P (no rechazar H_{0} ∣ μ = 108) = 0, 2399$
$potencia = 1 - β = 0, 7601$

Resultado

z = 2, p = 0, 0455 \Rightarrow se rechaza H₀

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Ojo con…

No rechazar H₀ no demuestra que sea cierta.
Si p < α se rechaza H₀.

Contraste de hipótesis: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave