Dispersión: ejercicios resueltos paso a paso

Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos: las medidas de dispersión dicen cuánto se separan los datos de su centro. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Dispersión

Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos: las medidas de dispersión dicen cuánto se separan los datos de su centro.

R = x_{m a x} - x_{m i n}

Media

Es el punto de equilibrio de los datos: si los datos fueran pesas sobre una regla, la media es donde la regla queda en equilibrio.

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}

Varianza y desviación

Miden cuánto se alejan los datos de la media. Elevamos al cuadrado para que los desvíos positivos y negativos no se cancelen; la raíz devuelve las unidades originales.

σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Raíces

Una raíz se puede simplificar sacando los factores que tienen exponente igual al índice. Para racionalizar multiplicamos arriba y abajo por lo que hace desaparecer la raíz del denominador.

72 = 36 \cdot 2 = 62

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: varianza y desviación típica de 4, 7, 5, 9, 5, 6, 8

Método: Varianza poblacional (n)

Calculamos el rango
Es la diferencia entre el dato mayor y el menor: mide la amplitud total.
$R = 9 - (4) = 5$
Calculamos la media
La necesitamos para medir cuánto se alejan los datos.
$\overset{x}{ˉ} = 6, 2857$
Armamos la tabla de desvíos
Para cada valor calculamos su distancia a la media al cuadrado (así no se cancelan los positivos con los negativos).
xᵢ fᵢ xᵢ − x̄ (xᵢ − x̄)²·fᵢ
4 1 -2,2857 5,2245
5 2 -1,2857 3,3061
6 1 -0,2857 0,0816
7 1 0,7143 0,5102
8 1 1,7143 2,9388
9 1 2,7143 7,3673
Total 7 19,4286
Calculamos la varianza poblacional
Dividimos la suma de cuadrados por n (los datos son toda la población).
$σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} f _{i}}{n} = \frac{19 , 4286}{7} = 2, 7755$
Calculamos la desviación típica y el coeficiente de variación
La desviación típica es la raíz de la varianza (vuelve a las unidades de los datos). El CV compara la dispersión con la media, en porcentaje.
$σ = 2, 7755 = 1, 666$
$C V = \frac{σ}{x ˉ} \cdot 100% = \frac{1 , 666}{6 , 2857} \cdot 100% = 26, 5%$
Verificamos
Usamos la fórmula abreviada: $σ^{2} = \frac{\sum x _{i}^{2} f _{i}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ .
$2, 7755 = 2, 7755 ✓$

xᵢ	fᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²·fᵢ
4	1	-2,2857	5,2245
5	2	-1,2857	3,3061
6	1	-0,2857	0,0816
7	1	0,7143	0,5102
8	1	1,7143	2,9388
9	1	2,7143	7,3673
Total	7		19,4286

Resultado

R = 5, σ^{2} = 2, 7755, σ = 1, 666, C V = 26, 5%

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: varianza muestral de 10, 12, 9, 15, 14

Método: Varianza muestral (n − 1)

Calculamos el rango
Es la diferencia entre el dato mayor y el menor: mide la amplitud total.
$R = 15 - (9) = 6$
Calculamos la media
La necesitamos para medir cuánto se alejan los datos.
$\overset{x}{ˉ} = 12$
Armamos la tabla de desvíos
Para cada valor calculamos su distancia a la media al cuadrado (así no se cancelan los positivos con los negativos).
xᵢ fᵢ xᵢ − x̄ (xᵢ − x̄)²·fᵢ
9 1 -3 9
10 1 -2 4
12 1 0 0
14 1 2 4
15 1 3 9
Total 5 26
Calculamos la varianza muestral
Para una muestra dividimos por n − 1 (así la varianza estima mejor la de la población).
$s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} f _{i}}{n - 1} = \frac{26}{4} = 6, 5$
Calculamos la desviación típica y el coeficiente de variación
La desviación típica es la raíz de la varianza (vuelve a las unidades de los datos). El CV compara la dispersión con la media, en porcentaje.
$s = 6, 5 = 2, 5495$
$C V = \frac{s}{x ˉ} \cdot 100% = \frac{2 , 5495}{12} \cdot 100% = 21, 25%$
Verificamos
Usamos la fórmula abreviada: $s^{2} = \frac{\sum x _{i}^{2} f _{i} - n x ˉ ^{2}}{n - 1}$ .
$6, 5 = 6, 5 ✓$

xᵢ	fᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²·fᵢ
9	1	-3	9
10	1	-2	4
12	1	0	0
14	1	2	4
15	1	3	9
Total	5		26

Resultado

R = 6, s^{2} = 6, 5, s = 2, 5495, C V = 21, 25%

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Ejemplo 3: coeficiente de variación: 0-10: 4, 10-20: 7, 20-30: 9, 30-40: 5

Método: Varianza poblacional (n)

Calculamos el rango
Es la diferencia entre el dato mayor y el menor: mide la amplitud total.
$R = 40 - (0) = 40$
Calculamos la media
La necesitamos para medir cuánto se alejan los datos.
$\overset{x}{ˉ} = 21$
Armamos la tabla de desvíos
Para cada valor calculamos su distancia a la media al cuadrado (así no se cancelan los positivos con los negativos).
Marca xᵢ fᵢ xᵢ − x̄ (xᵢ − x̄)²·fᵢ
5 4 -16 1024
15 7 -6 252
25 9 4 144
35 5 14 980
Total 25 2400
Calculamos la varianza poblacional
Dividimos la suma de cuadrados por n (los datos son toda la población).
$σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} f _{i}}{n} = \frac{2400}{25} = 96$
Calculamos la desviación típica y el coeficiente de variación
La desviación típica es la raíz de la varianza (vuelve a las unidades de los datos). El CV compara la dispersión con la media, en porcentaje.
$σ = 96 = 9, 798$
$C V = \frac{σ}{x ˉ} \cdot 100% = \frac{9 , 798}{21} \cdot 100% = 46, 66%$
Verificamos
Usamos la fórmula abreviada: $σ^{2} = \frac{\sum x _{i}^{2} f _{i}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ .
$96 = 96 ✓$

Marca xᵢ	fᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²·fᵢ
5	4	-16	1024
15	7	-6	252
25	9	4	144
35	5	14	980
Total	25		2400

Resultado

R = 40, σ^{2} = 96, σ = 9, 798, C V = 46, 66%

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Ojo con…

La varianza está en unidades al cuadrado: la desviación típica vuelve a las unidades de los datos.

Dispersión: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Dispersión

Media

Varianza y desviación

Raíces

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: varianza y desviación típica de 4, 7, 5, 9, 5, 6, 8

Calculamos el rango

Calculamos la media

Armamos la tabla de desvíos

Calculamos la varianza poblacional

Calculamos la desviación típica y el coeficiente de variación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: varianza muestral de 10, 12, 9, 15, 14

Calculamos el rango

Calculamos la media

Armamos la tabla de desvíos

Calculamos la varianza muestral

Calculamos la desviación típica y el coeficiente de variación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: coeficiente de variación: 0-10: 4, 10-20: 7, 20-30: 9, 30-40: 5

Calculamos el rango

Calculamos la media

Armamos la tabla de desvíos

Calculamos la varianza poblacional

Calculamos la desviación típica y el coeficiente de variación

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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