Medidas de posición: ejercicios resueltos paso a paso

Dividen los datos ordenados en partes iguales: Q₁ deja el 25 % por debajo, la mediana el 50 % y Q₃ el 75 %. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Medidas de posición

Dividen los datos ordenados en partes iguales: Q₁ deja el 25 % por debajo, la mediana el 50 % y Q₃ el 75 %.

Q_{1} \leq Me \leq Q_{3}

Velocidad y aceleración

La velocidad es cuánto cambia la posición por unidad de tiempo (la derivada); la aceleración, cuánto cambia la velocidad.

v = s^{'} (t), a = v^{'} (t) = s^{''} (t)

Porcentajes

Un porcentaje es una fracción con denominador 100. Para aplicar un descuento del p % se multiplica por (1 − p/100); para un aumento, por (1 + p/100).

20% de 350 = 0, 2 \cdot 350 = 70

Sumas de Riemann

El área bajo la curva se aproxima con rectángulos. Cuantos más (y más finitos) usemos, mejor la aproximación; en el límite da exactamente la integral.

\int_{a}^{b} f = n \to \infty lim \sum f (x_{i}) Δ x

Proporciones

Dos razones forman una proporción si son iguales. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: con eso se despeja el valor desconocido.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

Dispersión

Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos: las medidas de dispersión dicen cuánto se separan los datos de su centro.

R = x_{m a x} - x_{m i n}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: cuartiles de 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18

Método: Método (n + 1)·p

Ordenamos los datos
Las medidas de posición dividen los datos ordenados en partes: los cuartiles en 4, los deciles en 10 y los percentiles en 100.
$x_{(1)} = 3, x_{(2)} = 5, x_{(3)} = 7, x_{(4)} = 8, x_{(5)} = 12, x_{(6)} = 13, x_{(7)} = 14, x_{(8)} = 18, x_{(9)} = 21$
Calculamos la posición de cada medida
Método (n + 1)·p: calculamos la posición y, si cae entre dos datos, interpolamos.
$Q_{1} : posici \overset{o}{ˊ} n = (n + 1) \cdot p = 2, 5 \Rightarrow Q_{1} = 6$
$Q_{2} : posici \overset{o}{ˊ} n = (n + 1) \cdot p = 5 \Rightarrow Q_{2} = 12$
$Q_{3} : posici \overset{o}{ˊ} n = (n + 1) \cdot p = 7, 5 \Rightarrow Q_{3} = 16$

Explicación de cada cálculo

Así se obtuvo cada valor.

Medida	Cómo se obtuvo
$Q_{1}$	interpolamos entre las posiciones 2 y 3: x₍2₎ + 0,5·(x₍3₎ − x₍2₎)
$Q_{2}$	la posición 5 es exacta
$Q_{3}$	interpolamos entre las posiciones 7 y 8: x₍7₎ + 0,5·(x₍8₎ − x₍7₎)

Diagrama de caja
El rango intercuartílico RIC = Q₃ − Q₁ = 10 contiene el 50 % central. Los datos a más de 1,5·RIC de la caja se marcan como atípicos.
Verificamos
Contamos qué porcentaje de los datos queda por debajo o igual a cada medida: tiene que acercarse al porcentaje buscado.
$Q_{1} : 2/9 = 22, 2% \approx 25% ✓$
$Q_{2} : 5/9 = 55, 6% \approx 50% ✓$
$Q_{3} : 7/9 = 77, 8% \approx 75% ✓$

Resultado

Q_{1} = 6, Q_{2} = 12, Q_{3} = 16

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: percentil 90 y decil 3 de 15, 20, 35, 40, 50, 22, 28, 31, 45, 18

Método: Método (n + 1)·p

Ordenamos los datos
Las medidas de posición dividen los datos ordenados en partes: los cuartiles en 4, los deciles en 10 y los percentiles en 100.
$x_{(1)} = 3, x_{(2)} = 15, x_{(3)} = 18, x_{(4)} = 20, x_{(5)} = 22, x_{(6)} = 28, x_{(7)} = 31, x_{(8)} = 35, x_{(9)} = 40, x_{(10)} = 45, x_{(11)} = 50, x_{(12)} = 90$
Calculamos la posición de cada medida
Método (n + 1)·p: calculamos la posición y, si cae entre dos datos, interpolamos.
$P_{90} : posici \overset{o}{ˊ} n = (n + 1) \cdot p = 11, 7 \Rightarrow P_{90} = 78$
$D_{3} : posici \overset{o}{ˊ} n = (n + 1) \cdot p = 3, 9 \Rightarrow D_{3} = 19, 8$
Explicación de cada cálculo
Así se obtuvo cada valor.
Medida Cómo se obtuvo
$P_{90}$ interpolamos entre las posiciones 11 y 12: x₍11₎ + 0,7·(x₍12₎ − x₍11₎)
$D_{3}$ interpolamos entre las posiciones 3 y 4: x₍3₎ + 0,9·(x₍4₎ − x₍3₎)
Verificamos
Contamos qué porcentaje de los datos queda por debajo o igual a cada medida: tiene que acercarse al porcentaje buscado.
$P_{90} : 11/12 = 91, 7% \approx 90% ✓$
$D_{3} : 3/12 = 25% \approx 30% ✓$

Medida	Cómo se obtuvo
$P_{90}$	interpolamos entre las posiciones 11 y 12: x₍11₎ + 0,7·(x₍12₎ − x₍11₎)
$D_{3}$	interpolamos entre las posiciones 3 y 4: x₍3₎ + 0,9·(x₍4₎ − x₍3₎)

Resultado

P_{90} = 78, D_{3} = 19, 8

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Ejemplo 3: cuartiles: 0-10: 4, 10-20: 7, 20-30: 9, 30-40: 5

Método: Datos agrupados

Armamos las frecuencias acumuladas
Con datos agrupados buscamos el intervalo donde la acumulada alcanza k·n y después interpolamos dentro de él.
Intervalo fᵢ Fᵢ
$[0; 10)$ 4 4
$[10; 20)$ 7 11
$[20; 30)$ 9 20
$[30; 40)$ 5 25
Calculamos cada medida
Fórmula: $L_{i} + \frac{k n - F _{i - 1}}{f _{i}} \cdot a$ , con k la proporción buscada.
$Q_{1} = L_{i} + \frac{6 , 25 - 4}{7} \cdot 10 = 10 + 3, 2143 = 13, 2143$
$Q_{2} = L_{i} + \frac{12 , 5 - 11}{9} \cdot 10 = 20 + 1, 6667 = 21, 6667$
$Q_{3} = L_{i} + \frac{18 , 75 - 11}{9} \cdot 10 = 20 + 8, 6111 = 28, 6111$
Verificamos
Cada medida tiene que caer dentro del rango de los datos y en orden creciente.
$Q_{1} = 13, 2143 \leq Q_{2} = 21, 6667 \leq Q_{3} = 28, 6111 ✓$

Intervalo	fᵢ	Fᵢ
$[0; 10)$	4	4
$[10; 20)$	7	11
$[20; 30)$	9	20
$[30; 40)$	5	25

Resultado

Q_{1} = 13, 2143, Q_{2} = 21, 6667, Q_{3} = 28, 6111

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Ojo con…

Hay distintos métodos para calcular cuartiles: aclará cuál usaste.

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