Probabilidad condicional: ejercicios resueltos paso a paso

Saber que ocurrió B achica el universo: ahora solo miramos los casos de B, y de ellos, cuántos son también A. Acá tenés 2 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Probabilidad condicional

Saber que ocurrió B achica el universo: ahora solo miramos los casos de B, y de ellos, cuántos son también A.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A∩B) = 0,2. Calcular P(A|B) y P(A∪B)

Método: Probabilidad condicional

Anotamos los datos
P(A|B) se lee “probabilidad de A dado B”: la probabilidad de A sabiendo que ocurrió B.
$P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 5, P (A \cap B) = 0, 2$
Usamos las fórmulas
Probabilidad condicional: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ . Unión: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Complemento: $P (A^{'}) = 1 - P (A)$ .
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0, 4 + 0, 5 - 0, 2 = 0, 7$
$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$
$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 2}{0 , 4} = 0, 5$
$P (A^{'}) = 1 - P (A) = 0, 6$
$P (B^{'}) = 1 - P (B) = 0, 5$
$P (A^{'} \cap B^{'}) = 1 - P (A \cup B) = 0, 3$
$P (A \cap B^{'}) = P (A) - P (A \cap B) = 0, 2$
¿Son independientes?
A y B son independientes si saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro, es decir, si $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ (o, lo mismo, $P (A ∣ B) = P (A)$ ).
$P (A) \cdot P (B) = 0, 4 \cdot 0, 5 = 0, 2 = P (A \cap B) = 0, 2 \Rightarrow son independientes$
Verificamos
Volvemos a armar la intersección con la condicional y revisamos que las probabilidades estén entre 0 y 1.
$P (A ∣ B) \cdot P (B) = 0, 2 = P (A \cap B) ✓$
$P (A \cup B) = 0, 7 \in [0; 1] ✓$

Resultado

P (A ∣ B) = 0, 4, P (A \cup B) = 0, 7, independientes

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: P(A) = 0,3; P(B) = 0,6; P(A|B) = 0,25; ¿son independientes?

Método: Probabilidad condicional

Anotamos los datos
P(A|B) se lee “probabilidad de A dado B”: la probabilidad de A sabiendo que ocurrió B.
$P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 6, P (A ∣ B) = 0, 25$
Usamos las fórmulas
Probabilidad condicional: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ . Unión: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Complemento: $P (A^{'}) = 1 - P (A)$ .
$P (A \cap B) = P (A ∣ B) \cdot P (B) = 0, 25 \cdot 0, 6 = 0, 15$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0, 3 + 0, 6 - 0, 15 = 0, 75$
$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 15}{0 , 3} = 0, 5$
$P (A^{'}) = 1 - P (A) = 0, 7$
$P (B^{'}) = 1 - P (B) = 0, 4$
$P (A^{'} \cap B^{'}) = 1 - P (A \cup B) = 0, 25$
$P (A \cap B^{'}) = P (A) - P (A \cap B) = 0, 15$
¿Son independientes?
A y B son independientes si saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro, es decir, si $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ (o, lo mismo, $P (A ∣ B) = P (A)$ ).
$P (A) \cdot P (B) = 0, 3 \cdot 0, 6 = 0, 18 \neq = P (A \cap B) = 0, 15 \Rightarrow no son independientes$
Verificamos
Volvemos a armar la intersección con la condicional y revisamos que las probabilidades estén entre 0 y 1.
$P (A ∣ B) \cdot P (B) = 0, 15 = P (A \cap B) ✓$
$P (A \cup B) = 0, 75 \in [0; 1] ✓$

Resultado

P (A ∣ B) = 0, 25, P (A \cup B) = 0, 75, no independientes

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

P(A|B) no es lo mismo que P(B|A).
Independientes no es lo mismo que excluyentes.

Probabilidad condicional: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Probabilidad condicional

Pendiente

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A∩B) = 0,2. Calcular P(A|B) y P(A∪B)

Anotamos los datos

Usamos las fórmulas

¿Son independientes?

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: P(A) = 0,3; P(B) = 0,6; P(A|B) = 0,25; ¿son independientes?

Anotamos los datos

Usamos las fórmulas

¿Son independientes?

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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