Medidas de forma: ejercicios resueltos paso a paso

Trasladar, rotar o reflejar mueve la figura sin deformarla (conserva distancias y ángulos). La homotecia la agranda o achica desde un centro. Acá tenés 2 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Transformaciones

Trasladar, rotar o reflejar mueve la figura sin deformarla (conserva distancias y ángulos). La homotecia la agranda o achica desde un centro.

(x; y) \to (x + a; y + b)

Varianza y desviación

Miden cuánto se alejan los datos de la media. Elevamos al cuadrado para que los desvíos positivos y negativos no se cancelen; la raíz devuelve las unidades originales.

σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Estandarizar

Toda normal se transforma en la normal estándar restando la media y dividiendo por la desviación: z dice a cuántas desviaciones está el valor de la media.

z = \frac{x - μ}{σ}

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Propiedad distributiva

Multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada término y sumar los resultados. Así “sacamos” los paréntesis.

3 (x + 2) = 3 x + 6

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: asimetría y curtosis de 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 9, 12

Método: Coeficientes de Fisher

Calculamos media y desviación típica
Las medidas de forma comparan los desvíos con la desviación típica.
$\overset{x}{ˉ} = 5, 1111, σ = 3, 0712$
Calculamos los momentos centrales
Son promedios de las potencias de los desvíos: m₃ mide la asimetría y m₄ el apuntamiento.
xᵢ fᵢ (xᵢ−x̄)³·fᵢ (xᵢ−x̄)⁴·fᵢ
2 1 -30,1125 93,6833
3 2 -18,8176 39,726
4 3 -4,1152 4,5725
5 1 -0,0014 0,0002
9 1 58,8134 228,7189
12 1 326,9246 2252,1469
Total 9 332,6914 2618,8477
Coeficiente de asimetría de Fisher
Si g₁ ≈ 0 la distribución es simétrica; si es positivo, tiene cola a la derecha; si es negativo, a la izquierda.
$g_{1} = \frac{m _{3}}{σ ^{3}} = \frac{36 , 9657}{3 , 071 2 ^{3}} = 1, 2761 \Rightarrow asim \overset{e}{ˊ} trica a la derecha (positiva)$
Coeficiente de curtosis
Se compara con la normal (que tiene g₂ = 0): g₂ > 0 más apuntada, g₂ < 0 más achatada.
$g_{2} = \frac{m _{4}}{σ ^{4}} - 3 = \frac{290 , 9831}{3 , 071 2 ^{4}} - 3 = 0, 2708 \Rightarrow leptoc \overset{u}{ˊ} rtica$
Verificamos
Comparamos con el coeficiente de Pearson, Aₚ = 3(x̄ − Me)/σ: tienen que indicar el mismo sentido de asimetría (o ambos cerca de 0).
$A_{p} = \frac{3 ( 5 , 1111 - ( 4 ) )}{3 , 0712} = 1, 0854 ✓$

xᵢ	fᵢ	(xᵢ−x̄)³·fᵢ	(xᵢ−x̄)⁴·fᵢ
2	1	-30,1125	93,6833
3	2	-18,8176	39,726
4	3	-4,1152	4,5725
5	1	-0,0014	0,0002
9	1	58,8134	228,7189
12	1	326,9246	2252,1469
Total	9	332,6914	2618,8477

Resultado

g_{1} = 1, 2761 (asim \overset{e}{ˊ} trica a la derecha (positiva)), g_{2} = 0, 2708 (leptoc \overset{u}{ˊ} rtica)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: asimetría de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Método: Coeficientes de Fisher

Calculamos media y desviación típica
Las medidas de forma comparan los desvíos con la desviación típica.
$\overset{x}{ˉ} = 4, σ = 2$
Calculamos los momentos centrales
Son promedios de las potencias de los desvíos: m₃ mide la asimetría y m₄ el apuntamiento.
xᵢ fᵢ (xᵢ−x̄)³·fᵢ (xᵢ−x̄)⁴·fᵢ
1 1 -27 81
2 1 -8 16
3 1 -1 1
4 1 0 0
5 1 1 1
6 1 8 16
7 1 27 81
Total 7 0 196
Coeficiente de asimetría de Fisher
Si g₁ ≈ 0 la distribución es simétrica; si es positivo, tiene cola a la derecha; si es negativo, a la izquierda.
$g_{1} = \frac{m _{3}}{σ ^{3}} = \frac{0}{2 ^{3}} = 0 \Rightarrow aproximadamente sim \overset{e}{ˊ} trica$
Coeficiente de curtosis
Se compara con la normal (que tiene g₂ = 0): g₂ > 0 más apuntada, g₂ < 0 más achatada.
$g_{2} = \frac{m _{4}}{σ ^{4}} - 3 = \frac{28}{2 ^{4}} - 3 = - 1, 25 \Rightarrow platic \overset{u}{ˊ} rtica$
Verificamos
Comparamos con el coeficiente de Pearson, Aₚ = 3(x̄ − Me)/σ: tienen que indicar el mismo sentido de asimetría (o ambos cerca de 0).
$A_{p} = \frac{3 ( 4 - ( 4 ) )}{2} = 0 ✓$

xᵢ	fᵢ	(xᵢ−x̄)³·fᵢ	(xᵢ−x̄)⁴·fᵢ
1	1	-27	81
2	1	-8	16
3	1	-1	1
4	1	0	0
5	1	1	1
6	1	8	16
7	1	27	81
Total	7	0	196

Resultado

g_{1} = 0 (aproximadamente sim \overset{e}{ˊ} trica), g_{2} = - 1, 25 (platic \overset{u}{ˊ} rtica)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Para la mediana, primero ordená los datos.
Fijate si te piden población (÷ n) o muestra (÷ n − 1).

Medidas de forma: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Transformaciones

Varianza y desviación

Estandarizar

Propiedades de las potencias

Propiedad distributiva

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: asimetría y curtosis de 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 9, 12

Calculamos media y desviación típica

Calculamos los momentos centrales

Coeficiente de asimetría de Fisher

Coeficiente de curtosis

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: asimetría de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Calculamos media y desviación típica

Calculamos los momentos centrales

Coeficiente de asimetría de Fisher

Coeficiente de curtosis

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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