Probabilidad total y Bayes: ejercicios resueltos paso a paso

La probabilidad total suma todos los caminos que llegan a un resultado; Bayes da vuelta la pregunta: sabiendo el resultado, ¿de qué camino vino? Acá tenés 2 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Bayes

La probabilidad total suma todos los caminos que llegan a un resultado; Bayes da vuelta la pregunta: sabiendo el resultado, ¿de qué camino vino?

P (A_{i} ∣ D) = \frac{P ( A _{i} ) P ( D ∣ A _{i} )}{P ( D )}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: P(A1) = 0,5; P(A2) = 0,3; P(A3) = 0,2; P(D|A1) = 0,02; P(D|A2) = 0,03; P(D|A3) = 0,05

Método: Probabilidad total y Bayes

Anotamos los datos
Las causas A1, A2, A3 forman una partición (no se superponen y cubren todo): sus probabilidades suman 1. Además conocemos la probabilidad de D dada cada causa.
$P (A 1) = 0, 5, P (D ∣ A 1) = 0, 02$
$P (A 2) = 0, 3, P (D ∣ A 2) = 0, 03$
$P (A 3) = 0, 2, P (D ∣ A 3) = 0, 05$
Aplicamos el teorema de la probabilidad total
La probabilidad de D es la suma de los caminos del árbol que terminan en D: cada camino multiplica sus ramas.
$P (D) = P (A 1) P (D ∣ A 1) + P (A 2) P (D ∣ A 2) + P (A 3) P (D ∣ A 3) = 0, 5 \cdot 0, 02 + 0, 3 \cdot 0, 03 + 0, 2 \cdot 0, 05 = 0, 029$
Aplicamos el teorema de Bayes
Si sabemos que ocurrió D, la probabilidad de cada causa es su camino dividido por P(D).
$P (A 1 ∣ D) = \frac{P ( A 1 ) P ( D ∣ A 1 )}{P ( D )} = \frac{0 , 01}{0 , 029} = 0, 3448$
$P (A 2 ∣ D) = \frac{P ( A 2 ) P ( D ∣ A 2 )}{P ( D )} = \frac{0 , 009}{0 , 029} = 0, 3103$
$P (A 3 ∣ D) = \frac{P ( A 3 ) P ( D ∣ A 3 )}{P ( D )} = \frac{0 , 01}{0 , 029} = 0, 3448$
Verificamos
Las probabilidades “a posteriori” de las causas también forman una partición: tienen que sumar 1.
$0, 3448 + 0, 3103 + 0, 3448 = 1 ✓$

Resultado

P (D) = 0, 029, P (A 1 ∣ D) = 0, 3448, P (A 2 ∣ D) = 0, 3103, P (A 3 ∣ D) = 0, 3448

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: teorema de Bayes: P(E) = 0,01; P(T|E) = 0,95; P(T|S) = 0,08

Método: Probabilidad total y Bayes

Anotamos los datos
Las causas E, S forman una partición (no se superponen y cubren todo): sus probabilidades suman 1. Además conocemos la probabilidad de T dada cada causa.
$P (E) = 0, 01, P (T ∣ E) = 0, 95$
$P (S) = 0, 99, P (T ∣ S) = 0, 08$
Aplicamos el teorema de la probabilidad total
La probabilidad de T es la suma de los caminos del árbol que terminan en T: cada camino multiplica sus ramas.
$P (T) = P (E) P (T ∣ E) + P (S) P (T ∣ S) = 0, 01 \cdot 0, 95 + 0, 99 \cdot 0, 08 = 0, 0887$
Aplicamos el teorema de Bayes
Si sabemos que ocurrió T, la probabilidad de cada causa es su camino dividido por P(T).
$P (E ∣ T) = \frac{P ( E ) P ( T ∣ E )}{P ( T )} = \frac{0 , 0095}{0 , 0887} = 0, 1071$
$P (S ∣ T) = \frac{P ( S ) P ( T ∣ S )}{P ( T )} = \frac{0 , 0792}{0 , 0887} = 0, 8929$
Verificamos
Las probabilidades “a posteriori” de las causas también forman una partición: tienen que sumar 1.
$0, 1071 + 0, 8929 = 1 ✓$

Resultado

P (T) = 0, 0887, P (E ∣ T) = 0, 1071, P (S ∣ T) = 0, 8929

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Las causas tienen que sumar 1 (forman una partición).

Probabilidad total y Bayes: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Bayes

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: P(A1) = 0,5; P(A2) = 0,3; P(A3) = 0,2; P(D|A1) = 0,02; P(D|A2) = 0,03; P(D|A3) = 0,05

Anotamos los datos

Aplicamos el teorema de la probabilidad total

Aplicamos el teorema de Bayes

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: teorema de Bayes: P(E) = 0,01; P(T|E) = 0,95; P(T|S) = 0,08

Anotamos los datos

Aplicamos el teorema de la probabilidad total

Aplicamos el teorema de Bayes

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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