Estimación de parámetros: ejercicios resueltos paso a paso

Miden cuánto se alejan los datos de la media. Elevamos al cuadrado para que los desvíos positivos y negativos no se cancelen; la raíz devuelve las unidades originales. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Varianza y desviación

Miden cuánto se alejan los datos de la media. Elevamos al cuadrado para que los desvíos positivos y negativos no se cancelen; la raíz devuelve las unidades originales.

σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Intervalo de confianza

Como la muestra varía, damos un rango: estimación ± margen. Más confianza o menos datos hacen el intervalo más ancho.

\overset{x}{ˉ} \pm z \frac{σ}{n}

Inferencia

Con una muestra estimamos lo que pasa en toda la población. Como la muestra varía, se trabaja con distribuciones (normal, t, chi-cuadrado) para medir cuánto confiar.

t = \frac{x ˉ - μ _{0}}{s / n}

Sumas de Riemann

El área bajo la curva se aproxima con rectángulos. Cuantos más (y más finitos) usemos, mejor la aproximación; en el límite da exactamente la integral.

\int_{a}^{b} f = n \to \infty lim \sum f (x_{i}) Δ x

Proporciones

Dos razones forman una proporción si son iguales. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: con eso se despeja el valor desconocido.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

Área con integrales

Sumamos infinitos rectángulos de altura (arriba − abajo) y ancho dx. Si la curva cruza el eje, separamos los tramos para que no se resten áreas.

A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: intervalo de confianza del 95% para la media: x̄ = 52, s = 8, n = 25

Método: Intervalo para la media (t de Student)

Estimación puntual
Estimamos la media poblacional μ con la media muestral, y la desviación con s.
$\overset{x}{ˉ} = 52$
$s = 8$
$n = 25$
Elegimos la t de Student (σ desconocida)
Como σ es desconocida y la estimamos con s, usamos la t de Student con n − 1 = 24 grados de libertad.
$t_{24; α /2} = 2, 064$
Calculamos el margen de error
Valor crítico por el error estándar de la media (desviación sobre √n).
$E = 2, 064 \cdot \frac{8}{25} = 3, 3022$
Armamos el intervalo de confianza
Con un 95 % de confianza, la media poblacional está entre estos valores.
$I C = (\overset{x}{ˉ} - E; \overset{x}{ˉ} + E) = (48, 6978; 55, 3022)$
Verificamos
El área central entre −valor crítico y +valor crítico tiene que ser el nivel de confianza, y el intervalo tiene que estar centrado en x̄.
$P (- 2, 064 < T < 2, 064) = 0, 95 ✓$
$\frac{48 , 6978 + 55 , 3022}{2} = 52 ✓$

Resultado

I C_{95%} (μ) = (48, 6978; 55, 3022)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: intervalo de confianza 90%: n = 200, 84 éxitos, proporción

Método: Intervalo para una proporción

Estimación puntual
El mejor valor único para estimar la proporción poblacional es la proporción de la muestra.
$\overset{p}{^} = \frac{84}{200} = 0, 42$
Buscamos el valor crítico
Para un nivel de confianza del 90 % buscamos z con área 0,95 a la izquierda.
$z_{α /2} = 1, 645$
Calculamos el margen de error
Usamos el error estándar de la proporción $\overset{p}{^} (1 - \overset{p}{^}) / n$ .
$E = z \frac{p ^ ( 1 - p ^ )}{n} = 1, 645 \frac{0 , 42 \cdot 0 , 58}{200} = 0, 0574$
Armamos el intervalo
Estimación puntual ± margen de error.
$I C_{90%} = (0, 3626; 0, 4774)$
Verificamos
El centro del intervalo tiene que ser p̂ y el área entre −z y z tiene que ser el nivel de confianza.
$\frac{0 , 3626 + 0 , 4774}{2} = 0, 42 ✓$
$Φ (1, 645) - Φ (- 1, 645) = 0, 9 ✓$

Resultado

\overset{p}{^} = 0, 42, I C = (0, 3626; 0, 4774)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: intervalo de confianza del 99% con σ = 5: datos 48, 52, 50, 47, 53, 51, 49, 50

Método: Intervalo para la media (z)

Estimación puntual
Estimamos la media poblacional μ con la media muestral, y la desviación con s. Las calculamos con los datos.
$\overset{x}{ˉ} = 50$
$s = 2$
$n = 8$
Elegimos la normal (σ conocida)
Como se conoce la desviación poblacional σ, usamos la distribución normal.
$z_{α /2} = 2, 576$
Calculamos el margen de error
Valor crítico por el error estándar de la media (desviación sobre √n).
$E = 2, 576 \cdot \frac{5}{8} = 4, 5535$
Armamos el intervalo de confianza
Con un 99 % de confianza, la media poblacional está entre estos valores.
$I C = (\overset{x}{ˉ} - E; \overset{x}{ˉ} + E) = (45, 4465; 54, 5535)$
Verificamos
El área central entre −valor crítico y +valor crítico tiene que ser el nivel de confianza, y el intervalo tiene que estar centrado en x̄.
$P (- 2, 576 < Z < 2, 576) = 0, 99 ✓$
$\frac{45 , 4465 + 54 , 5535}{2} = 50 ✓$

Resultado

I C_{99%} (μ) = (45, 4465; 54, 5535)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Más confianza hace el intervalo más ancho, no más angosto.

Estimación de parámetros: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Varianza y desviación

Intervalo de confianza

Inferencia

Sumas de Riemann

Proporciones

Área con integrales

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: intervalo de confianza del 95% para la media: x̄ = 52, s = 8, n = 25

Estimación puntual

Elegimos la t de Student (σ desconocida)

Calculamos el margen de error

Armamos el intervalo de confianza

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: intervalo de confianza 90%: n = 200, 84 éxitos, proporción

Estimación puntual

Buscamos el valor crítico

Calculamos el margen de error

Armamos el intervalo

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: intervalo de confianza del 99% con σ = 5: datos 48, 52, 50, 47, 53, 51, 49, 50

Estimación puntual

Elegimos la normal (σ conocida)

Calculamos el margen de error

Armamos el intervalo de confianza

Verificamos

Resultado

Ojo con…

Más temas de Estadística y probabilidad