Tendencia central: ejercicios resueltos paso a paso

Es el punto de equilibrio de los datos: si los datos fueran pesas sobre una regla, la media es donde la regla queda en equilibrio. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Media

Es el punto de equilibrio de los datos: si los datos fueran pesas sobre una regla, la media es donde la regla queda en equilibrio.

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}

Mediana

Es el valor del medio de los datos ordenados. A diferencia de la media, no la afectan los valores muy extremos.

1, 3, 5, 8, 100

Moda

Es el valor que más se repite. Es la única medida de centralización que sirve también para datos cualitativos.

rojo, azul, rojo \Rightarrow Mo = rojo

Dispersión

Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos: las medidas de dispersión dicen cuánto se separan los datos de su centro.

R = x_{m a x} - x_{m i n}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: media, mediana y moda de 4, 7, 5, 9, 5, 6, 8

Método: Media, mediana y moda

Ordenamos los datos
Para la mediana hace falta tenerlos ordenados de menor a mayor.
$4, 5, 5, 6, 7, 8, 9$
Calculamos la media
Es el promedio: sumamos todos los datos y dividimos por la cantidad.
$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n} = \frac{44}{7} = 6, 2857$
Calculamos la mediana
n = 7 es impar: la mediana es el dato del medio, en la posición (n + 1)/2 = 4.
$Me = x_{(4)} = 6$
Calculamos la moda
Es el valor que más se repite.
$Mo = 5 (f = 2)$
Verificamos
La suma de los desvíos respecto de la media da 0, y al menos la mitad de los datos son menores o iguales que la mediana.
$\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0 ✓$
$4 \geq \frac{7}{2} ✓$

Resultado

\overset{x}{ˉ} = 6, 2857, Me = 6, Mo = 5

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: media de x: 1, 2, 3, 4; f: 3, 5, 8, 4

Método: Media, mediana y moda

Ordenamos los datos
Para la mediana hace falta tenerlos ordenados de menor a mayor.
$1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4$
Calculamos la media
Es el promedio: sumamos todos los datos y dividimos por la cantidad.
$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n} = \frac{53}{20} = 2, 65$
Calculamos la mediana
n = 20 es par: la mediana es el promedio de los dos datos centrales (posiciones 10 y 11).
$Me = \frac{3 + 3}{2} = 3$
Calculamos la moda
Es el valor que más se repite.
$Mo = 3 (f = 8)$
Verificamos
La suma de los desvíos respecto de la media da 0, y al menos la mitad de los datos son menores o iguales que la mediana.
$\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0 ✓$
$16 \geq \frac{20}{2} ✓$

Resultado

\overset{x}{ˉ} = 2, 65, Me = 3, Mo = 3

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: media, mediana y moda: 0-10: 4, 10-20: 7, 20-30: 9, 30-40: 5

Método: Datos agrupados

Calculamos la media con las marcas de clase
Con datos agrupados usamos la marca de clase xᵢ como representante de cada intervalo.
$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i} f _{i}}{n} = \frac{525}{25} = 21$
Intervalo xᵢ fᵢ xᵢ·fᵢ Fᵢ
$[0; 10)$ 5 4 20 4
$[10; 20)$ 15 7 105 11
$[20; 30)$ 25 9 225 20
$[30; 40)$ 35 5 175 25
Calculamos la mediana
La mediana deja la mitad de los datos de cada lado: buscamos el intervalo donde la acumulada llega a n/2 = 12,5 e interpolamos.
$Me = L_{i} + \frac{\frac{n}{2} - F _{i - 1}}{f _{i}} \cdot a = 20 + \frac{12 , 5 - 11}{9} \cdot 10 = 21, 6667$
Calculamos la moda
Está en el intervalo de mayor frecuencia (intervalo modal).
$Mo = L_{i} + \frac{d _{1}}{d _{1} + d _{2}} \cdot a = 20 + \frac{2}{2 + 4} \cdot 10 = 23, 3333$
Verificamos
La suma de los desvíos respecto de la media (pesados por la frecuencia) tiene que dar 0.
$\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) f_{i} = 0 ✓$

Intervalo	xᵢ	fᵢ	xᵢ·fᵢ	Fᵢ
$[0; 10)$	5	4	20	4
$[10; 20)$	15	7	105	11
$[20; 30)$	25	9	225	20
$[30; 40)$	35	5	175	25

Resultado

\overset{x}{ˉ} = 21, Me = 21, 6667, Mo = 23, 3333

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Ojo con…

La media se ve muy afectada por los valores extremos; la mediana no.
Puede haber más de una moda, o ninguna.

Tendencia central: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Media

Mediana

Moda

Dispersión

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: media, mediana y moda de 4, 7, 5, 9, 5, 6, 8

Ordenamos los datos

Calculamos la media

Calculamos la mediana

Calculamos la moda

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: media de x: 1, 2, 3, 4; f: 3, 5, 8, 4

Ordenamos los datos

Calculamos la media

Calculamos la mediana

Calculamos la moda

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: media, mediana y moda: 0-10: 4, 10-20: 7, 20-30: 9, 30-40: 5

Calculamos la media con las marcas de clase

Calculamos la mediana

Calculamos la moda

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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