Combinatoria: ejercicios resueltos paso a paso

Elegir k de n sin importar el orden: se cuentan las variaciones y se divide por las k! formas de ordenar cada grupo. Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Combinaciones

Elegir k de n sin importar el orden: se cuentan las variaciones y se divide por las k! formas de ordenar cada grupo.

C_{5, 2} = \frac{5 \cdot 4}{2 !} = 10

¿Qué fórmula de conteo uso?

Si importa el orden son variaciones (o permutaciones si se usan todos); si no importa, combinaciones. Si se pueden repetir, se usan las versiones “con repetición”.

V_{n, k} = \frac{n !}{( n - k )!}, C_{n, k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Variaciones

Elegir k de n cuando importa el orden: se multiplican las opciones de cada lugar.

V_{5, 2} = 5 \cdot 4 = 20

Permutaciones con repetición

Si hay letras iguales, intercambiarlas no forma una palabra nueva: por eso se divide por el factorial de cada repetición.

OSO : \frac{3 !}{2 !} = 3

Factorial y permutaciones

n! cuenta las formas de ordenar n elementos distintos: n opciones para el primer lugar, n − 1 para el segundo, y así.

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: C(10, 4)

Método: Combinaciones

Identificamos qué contar
Para elegir la fórmula nos hacemos tres preguntas: si importa el orden, si se pueden repetir y si se usan todos los elementos.
$Combinaciones$
Pregunta Respuesta
¿Importa el orden? No
¿Se pueden repetir elementos? No
¿Se usan todos los elementos? No
Usamos la fórmula de las combinaciones
Elegimos 4 de 10 sin importar el orden: contamos las variaciones y dividimos por las 4! formas de ordenar cada grupo.
$C_{10, 4} = (4 10) = \frac{10 !}{4 ! ( 10 - 4 )!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 !} = 210$
Verificamos
Lo calculamos por otro camino (o contando todos los casos, si son pocos).
$(4 10) = (6 10) = 210 ✓$
$contando uno por uno los grupos: 210 ✓$

Pregunta	Respuesta
¿Importa el orden?	No
¿Se pueden repetir elementos?	No
¿Se usan todos los elementos?	No

Resultado

210 casos

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: V(7, 3)

Método: Variaciones

Identificamos qué contar
Para elegir la fórmula nos hacemos tres preguntas: si importa el orden, si se pueden repetir y si se usan todos los elementos.
$Variaciones$
Pregunta Respuesta
¿Importa el orden? Sí
¿Se pueden repetir elementos? No
¿Se usan todos los elementos? No
Usamos la fórmula de las variaciones
Elegimos 3 de 7 en orden y sin repetir: 7 opciones para el primero, 6 para el segundo… hasta completar 3 lugares.
$V_{7, 3} = \frac{7 !}{( 7 - 3 )!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$
Verificamos
Lo calculamos por otro camino (o contando todos los casos, si son pocos).
$V_{7, 3} = C_{7, 3} \cdot 3! = 35 \cdot 6 = 210 ✓$
$contando una por una: 210 ✓$

Pregunta	Respuesta
¿Importa el orden?	Sí
¿Se pueden repetir elementos?	No
¿Se usan todos los elementos?	No

Resultado

210 casos

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: permutaciones de la palabra BANANA

Método: Permutaciones con repetición

Identificamos qué contar
Para elegir la fórmula nos hacemos tres preguntas: si importa el orden, si se pueden repetir y si se usan todos los elementos.
$Permutaciones con repetici \overset{o}{ˊ} n$
Pregunta Respuesta
¿Importa el orden? Sí
¿Se pueden repetir elementos? Sí
¿Se usan todos los elementos? Sí
Contamos las letras repetidas
La palabra BANANA tiene 6 letras. Las que se repiten se dividen: intercambiarlas entre sí no forma una palabra nueva.
$A : 3, N : 2$
Usamos permutaciones con repetición
$P_{6}^{3, 2} = \frac{6 !}{3 ! \cdot 2 !} = \frac{720}{12} = 60$
Verificamos
Lo calculamos por otro camino (o contando todos los casos, si son pocos).
$anagramas distintos generados uno por uno: 60 ✓$

Pregunta	Respuesta
¿Importa el orden?	Sí
¿Se pueden repetir elementos?	Sí
¿Se usan todos los elementos?	Sí

Resultado

60 casos

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: ¿de cuántas formas se pueden elegir 3 alumnos de 10?

Método: Combinaciones

Identificamos qué contar
Para elegir la fórmula nos hacemos tres preguntas: si importa el orden, si se pueden repetir y si se usan todos los elementos.
$Combinaciones$
Pregunta Respuesta
¿Importa el orden? No
¿Se pueden repetir elementos? No
¿Se usan todos los elementos? No
Usamos la fórmula de las combinaciones
Elegimos 3 de 10 sin importar el orden: contamos las variaciones y dividimos por las 3! formas de ordenar cada grupo.
$C_{10, 3} = (3 10) = \frac{10 !}{3 ! ( 10 - 3 )!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 !} = 120$
Verificamos
Lo calculamos por otro camino (o contando todos los casos, si son pocos).
$(3 10) = (7 10) = 120 ✓$
$contando uno por uno los grupos: 120 ✓$

Pregunta	Respuesta
¿Importa el orden?	No
¿Se pueden repetir elementos?	No
¿Se usan todos los elementos?	No

Resultado

120 casos

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 5: ¿de cuántas formas se pueden sentar 6 personas en una mesa redonda?

Método: Permutaciones circulares

Identificamos qué contar
Para elegir la fórmula nos hacemos tres preguntas: si importa el orden, si se pueden repetir y si se usan todos los elementos.
$Permutaciones circulares$
Pregunta Respuesta
¿Importa el orden? Sí
¿Se pueden repetir elementos? No
¿Se usan todos los elementos? Sí
Usamos permutaciones circulares
En una ronda no hay primer lugar: dejamos fija a una persona y ordenamos a las demás.
$P C_{6} = (6 - 1)! = 5! = 120$
Verificamos
Lo calculamos por otro camino (o contando todos los casos, si son pocos).
$\frac{P _{6}}{6} = \frac{720}{6} = 120 ✓$

Pregunta	Respuesta
¿Importa el orden?	Sí
¿Se pueden repetir elementos?	No
¿Se usan todos los elementos?	Sí

Resultado

120 casos

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 6: ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5?

Método: Variaciones con repetición

Identificamos qué contar
Para elegir la fórmula nos hacemos tres preguntas: si importa el orden, si se pueden repetir y si se usan todos los elementos.
$Variaciones con repetici \overset{o}{ˊ} n$
Pregunta Respuesta
¿Importa el orden? Sí
¿Se pueden repetir elementos? Sí
¿Se usan todos los elementos? No
Usamos variaciones con repetición
Hay 3 lugares y en cada uno puede ir cualquiera de los 5 elementos (se pueden repetir): 5 · 5 · … (3 veces).
$V R_{5, 3} = 5^{3} = 125$
Verificamos
Lo calculamos por otro camino (o contando todos los casos, si son pocos).
$contando una por una: 125 ✓$

Pregunta	Respuesta
¿Importa el orden?	Sí
¿Se pueden repetir elementos?	Sí
¿Se usan todos los elementos?	No

Resultado

125 casos

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Preguntate primero si importa el orden: si importa son variaciones; si no, combinaciones.
n! crece muy rápido: simplificá los factoriales antes de multiplicar.
En una ronda se fija una persona: son (n − 1)! formas.

Combinatoria: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Combinaciones

¿Qué fórmula de conteo uso?

Variaciones

Permutaciones con repetición

Factorial y permutaciones

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: C(10, 4)

Identificamos qué contar

Usamos la fórmula de las combinaciones

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: V(7, 3)

Identificamos qué contar

Usamos la fórmula de las variaciones

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: permutaciones de la palabra BANANA

Identificamos qué contar

Contamos las letras repetidas

Usamos permutaciones con repetición

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: ¿de cuántas formas se pueden elegir 3 alumnos de 10?

Identificamos qué contar

Usamos la fórmula de las combinaciones

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: ¿de cuántas formas se pueden sentar 6 personas en una mesa redonda?

Identificamos qué contar

Usamos permutaciones circulares

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5?

Identificamos qué contar

Usamos variaciones con repetición

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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