Regresión, ANOVA y series: ejercicios resueltos paso a paso

Buscamos la recta que mejor resume la nube de puntos: la que hace mínima la suma de los cuadrados de los errores verticales. Acá tenés 3 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Regresión lineal

Buscamos la recta que mejor resume la nube de puntos: la que hace mínima la suma de los cuadrados de los errores verticales.

\overset{y}{^} = a + b x, b = \frac{S _{x y}}{S _{xx}}

Series temporales

Las medias móviles suavizan los altibajos; la recta de tendencia resume hacia dónde va la serie y sirve para pronosticar (con cuidado lejos de los datos).

\overset{y}{^}_{t} = a + b t

Máximos y mínimos

Donde la función pasa de crecer a decrecer la tangente es horizontal (f′ = 0): ahí hay un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, un mínimo.

f^{'} (x) = 0 y cambio de signo de f^{'}

Contraste de hipótesis

Suponemos H₀ cierta y vemos qué tan raro sería lo observado. Si es muy raro (p < α), dudamos de H₀ y la rechazamos.

p < α \Rightarrow se rechaza H_{0}

Inferencia

Con una muestra estimamos lo que pasa en toda la población. Como la muestra varía, se trabaja con distribuciones (normal, t, chi-cuadrado) para medir cuánto confiar.

t = \frac{x ˉ - μ _{0}}{s / n}

Dispersión

Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos: las medidas de dispersión dicen cuánto se separan los datos de su centro.

R = x_{m a x} - x_{m i n}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regresión lineal x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 6, predecir para x = 7

Método: Regresión lineal y correlación

Calculamos las medias
La recta de regresión siempre pasa por el punto (x̄ ; ȳ).
$\overset{x}{ˉ} = 3, \overset{y}{ˉ} = 4, 2$
Calculamos las sumas de desvíos
Sxy mide cómo varían juntas; Sxx y Syy, cuánto varía cada una.
$S_{x y} = \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ}) = 8$
$S_{xx} = 10, S_{yy} = 8, 8$
xᵢ yᵢ xᵢ − x̄ yᵢ − ȳ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
1 2 -2 -2,2 4,4
2 4 -1 -0,2 0,2
3 5 0 0,8 0
4 4 1 -0,2 -0,2
5 6 2 1,8 3,6
Coeficiente de correlación de Pearson
r va de −1 a 1: cerca de ±1 la relación lineal es fuerte; cerca de 0, débil. El signo indica si crecen juntas o al revés.
$r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{yy}} = 0, 8528 \Rightarrow correlaci \overset{o}{ˊ} n positiva fuerte$
$r^{2} = 0, 7273 (el 72, 7% de la variaci \overset{o}{ˊ} n de y se explica con x)$
Recta de regresión de mínimos cuadrados
Es la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de los errores verticales.
$b = \frac{S _{x y}}{S _{xx}} = 0, 8, a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ} = 1, 8$
$\overset{y}{^} = 1, 8 + 0, 8 x$
Hacemos una predicción
Reemplazamos x en la recta (ojo: es más confiable dentro del rango de los datos).
$\overset{y}{^} (7) = 1, 8 + 0, 8 \cdot 7 = 7, 4$
Verificamos
La recta pasa por (x̄ ; ȳ) y la suma de los residuos (yᵢ − ŷᵢ) da 0.
$1, 8 + 0, 8 \cdot 3 = 4, 2 = \overset{y}{ˉ} ✓$
$\sum (y_{i} - \overset{y}{^}_{i}) = 0 ✓$

xᵢ	yᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ − ȳ	(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
1	2	-2	-2,2	4,4
2	4	-1	-0,2	0,2
3	5	0	0,8	0
4	4	1	-0,2	-0,2
5	6	2	1,8	3,6

Resultado

\overset{y}{^} = 1, 8 + 0, 8 x, r = 0, 8528, \overset{y}{^} (7) = 7, 4

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: ANOVA A: 5, 7, 6, 8; B: 8, 9, 7, 10; C: 4, 5, 6, 5

Método: ANOVA de un factor

Planteamos las hipótesis
El ANOVA compara las medias de tres o más grupos mirando si la variación entre grupos es grande comparada con la variación dentro de cada grupo.
$H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = μ_{3}$
$H_{1} : al menos una media es distinta$
Calculamos las medias
Media de cada grupo y media general.
$\overset{x}{ˉ}_{anova a} = 6, 5 (n = 4)$
$\overset{x}{ˉ}_{b} = 8, 5 (n = 4)$
$\overset{x}{ˉ}_{c} = 5 (n = 4)$
$\overset{x}{ˉ} = 6, 6667$
Armamos la tabla ANOVA
SC: suma de cuadrados; gl: grados de libertad; CM = SC/gl. El estadístico es F = CM entre / CM dentro.
Fuente SC gl CM F
Entre grupos 24,6667 2 12,3333 9,25
Dentro de grupos 12 9 1,3333
Total 36,6667 11
Decidimos
Comparamos con la F de Fisher con (2; 9) grados de libertad.
$F = 9, 25, F_{cr \overset{ı}{ˊ} t} = 4, 256, p = 0, 0066$
$Se rechaza H₀: al menos un grupo tiene media distinta.$
Verificamos
La variación total se reparte exactamente en “entre grupos” más “dentro de grupos”, y la decisión por F crítico coincide con la del valor p.
$S C_{T} = 36, 6667 = 24, 6667 + 12 ✓$
$9, 25 > 4, 256 ✓$

Fuente	SC	gl	CM	F
Entre grupos	24,6667	2	12,3333	9,25
Dentro de grupos	12	9	1,3333
Total	36,6667	11

Resultado

F = 9, 25, p = 0, 0066 \Rightarrow se rechaza H₀

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: serie temporal ventas: 120, 135, 128, 150, 162, 158, 175, 180

Método: Series temporales (tendencia y medias móviles)

Ordenamos la serie en el tiempo
Numeramos los períodos t = 1, 2, 3, … y miramos cómo evoluciona la variable.
t yₜ
1 120
2 135
3 128
4 150
5 162
6 158
7 175
8 180
Calculamos medias móviles de orden 3
Promediamos cada 3 períodos consecutivos para suavizar las oscilaciones y ver mejor la tendencia.
$M_{3} = \frac{120 + 135 + 128}{3} = 127, 6667$
$M_{4} = \frac{135 + 128 + 150}{3} = 137, 6667$
$M_{5} = \frac{128 + 150 + 162}{3} = 146, 6667$
$M_{6} = \frac{150 + 162 + 158}{3} = 156, 6667$
$M_{7} = \frac{162 + 158 + 175}{3} = 165$
$M_{8} = \frac{158 + 175 + 180}{3} = 171$
Ajustamos la tendencia lineal
Con mínimos cuadrados ajustamos una recta en función del tiempo: su pendiente dice cuánto cambia la variable por período.
$b = 8, 5952, a = 112, 3214$
$\overset{y}{^}_{t} = 112, 3214 + 8, 5952 t (tendencia creciente)$
Pronosticamos el período siguiente
Extendemos la recta de tendencia un período más.
$\overset{y}{^}_{9} = 112, 3214 + 8, 5952 \cdot 9 = 189, 6786$
Verificamos
La suma de los residuos de la tendencia es 0 y la recta pasa por el punto medio (t̄ ; ȳ).
$\sum (y_{t} - \overset{y}{^}_{t}) = 0 ✓$
$112, 3214 + 8, 5952 \cdot 4, 5 = 151 = \overset{y}{ˉ} ✓$

t	yₜ
1	120
2	135
3	128
4	150
5	162
6	158
7	175
8	180

Resultado

\overset{y}{^}_{t} = 112, 3214 + 8, 5952 t, \overset{y}{^}_{9} = 189, 6786

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Correlación no implica causalidad.
La recta de regresión es confiable dentro del rango de los datos.

Regresión, ANOVA y series: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Regresión lineal

Series temporales

Máximos y mínimos

Contraste de hipótesis

Inferencia

Dispersión

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regresión lineal x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 6, predecir para x = 7

Calculamos las medias

Calculamos las sumas de desvíos

Coeficiente de correlación de Pearson

Recta de regresión de mínimos cuadrados

Hacemos una predicción

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: ANOVA A: 5, 7, 6, 8; B: 8, 9, 7, 10; C: 4, 5, 6, 5

Planteamos las hipótesis

Calculamos las medias

Armamos la tabla ANOVA

Decidimos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: serie temporal ventas: 120, 135, 128, 150, 162, 158, 175, 180

Ordenamos la serie en el tiempo

Calculamos medias móviles de orden 3

Ajustamos la tendencia lineal

Pronosticamos el período siguiente

Verificamos

Resultado

Ojo con…

Más temas de Estadística y probabilidad