Teoría de números: ejercicios resueltos paso a paso

Si un número tiene un divisor, tiene uno menor o igual que su raíz cuadrada. Por eso alcanza con probar los primos hasta la raíz. Acá tenés 7 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

¿Es primo?

Si un número tiene un divisor, tiene uno menor o igual que su raíz cuadrada. Por eso alcanza con probar los primos hasta la raíz.

97 : 97 \approx 9, 8 \Rightarrow probamos 2, 3, 5, 7

Criba de Eratóstenes

Tachamos los múltiplos de cada primo: lo que nunca se tacha no tiene divisores aparte de 1 y sí mismo, es decir, es primo. Alcanza con llegar a la raíz del número máximo.

primos hasta 50 : 2, 3, 5, 7, 11, \dots, 47

Máximo común divisor

Es el mayor número que divide a todos a la vez. Con la factorización en primos se toman los factores comunes con su menor exponente.

12 = 2^{2} \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3^{2} \Rightarrow mcd = 2 \cdot 3 = 6

Mínimo común múltiplo

Es el menor número que es múltiplo de todos. Se toman todos los factores primos (comunes y no comunes) con su mayor exponente.

mcm (4, 6) = 2^{2} \cdot 3 = 12

Criterios de divisibilidad

Permiten saber si un número es divisible sin hacer la división: por 2 si termina en par, por 3 si la suma de cifras es múltiplo de 3, por 5 si termina en 0 o 5, etc.

462 : 4 + 6 + 2 = 12 \Rightarrow divisible por 3

Descomposición en factores primos

Todo número natural mayor que 1 se escribe de una única manera como producto de primos (teorema fundamental de la aritmética). Se divide por el menor primo posible hasta llegar a 1.

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: mcd(12, 18)

Método: Descomposición en factores primos

Elegimos el método
Usamos la descomposición en factores primos: dividimos cada número por los primos 2, 3, 5, 7… hasta llegar a 1.
$12, 18$
Descomponemos en factores primos
A la derecha de cada línea anotamos el primo por el que dividimos.
$12 = 2^{2} \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^{2}$
12 2
6 2
3 3
1
18 2
9 3
3 3
1
Calculamos el MCD
El máximo común divisor se arma con los factores primos comunes a todos, cada uno con el menor exponente.
$MCD (12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$
Calculamos el MCM
El mínimo común múltiplo se arma con todos los factores primos (comunes y no comunes), cada uno con el mayor exponente.
$MCM (12, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$
Verificamos
El MCD tiene que dividir a todos los números y el MCM tiene que ser múltiplo de todos. Además, para dos números, MCD · MCM = a · b.
$12 : 6 = 2, 18 : 6 = 3$
$36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2$
$6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18 ✓$

Resultado

MCD = 6, MCM = 36

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Ejemplo 2: mcm 24 36 60

Método: Descomposición en factores primos

Elegimos el método
Usamos la descomposición en factores primos: dividimos cada número por los primos 2, 3, 5, 7… hasta llegar a 1.
$24, 36, 60$
Descomponemos en factores primos
A la derecha de cada línea anotamos el primo por el que dividimos.
$24 = 2^{3} \cdot 3$
$36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$
$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$
24 2
12 2
6 2
3 3
1
36 2
18 2
9 3
3 3
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Calculamos el MCD
El máximo común divisor se arma con los factores primos comunes a todos, cada uno con el menor exponente.
$MCD (24, 36, 60) = 2^{2} \cdot 3 = 12$
Calculamos el MCM
El mínimo común múltiplo se arma con todos los factores primos (comunes y no comunes), cada uno con el mayor exponente.
$MCM (24, 36, 60) = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 360$
Verificamos
El MCD tiene que dividir a todos los números y el MCM tiene que ser múltiplo de todos.
$24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3, 60 : 12 = 5$
$360 : 24 = 15, 360 : 36 = 10, 360 : 60 = 6$
$✓$

Resultado

MCD = 12, MCM = 360

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Ejemplo 3: ¿es primo 91?

Método: Divisiones por primos hasta la raíz

Hasta dónde probar
Un número es primo si solo se puede dividir por 1 y por sí mismo. Alcanza con probar los primos hasta su raíz cuadrada: si tuviera un divisor más grande, también tendría uno más chico.
$91 \approx 9, 539392 \Rightarrow probamos hasta 9$
Probamos con cada primo
Encontramos un divisor distinto de 1 y del número: es compuesto.
Primo ¿Divide?
2 no (resto 1)
3 no (resto 1)
5 no (resto 1)
7 sí (91 = 7 × 13)
Lo descomponemos
Como es compuesto, lo escribimos como producto de factores primos.
$91 = 7 \cdot 13$
Verificamos
Multiplicamos el divisor encontrado por el cociente.
$7 \cdot 13 = 91 ✓$

Primo	¿Divide?
2	no (resto 1)
3	no (resto 1)
5	no (resto 1)
7	sí (91 = 7 × 13)

Resultado

91 es compuesto

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Ejemplo 4: criba hasta 50

Método: Criba de Eratóstenes

Escribimos los números
Anotamos los números del 2 al 50. La idea de Eratóstenes: cada vez que encontramos un primo, tachamos todos sus múltiplos, porque no pueden ser primos.
234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
Tachamos los múltiplos de 2
El 2 no está tachado, así que es primo. Tachamos sus múltiplos a partir de 2² = 4 (los más chicos ya se tacharon antes). Tachamos 24 números.
234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
Tachamos los múltiplos de 3
El 3 no está tachado, así que es primo. Tachamos sus múltiplos a partir de 3² = 9 (los más chicos ya se tacharon antes). Tachamos 7 números.
234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
Tachamos los múltiplos de 5
El 5 no está tachado, así que es primo. Tachamos sus múltiplos a partir de 5² = 25 (los más chicos ya se tacharon antes). Tachamos 2 números.
234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
Tachamos los múltiplos de 7
El 7 no está tachado, así que es primo. Tachamos sus múltiplos a partir de 7² = 49 (los más chicos ya se tacharon antes). Tachamos 1 números.
234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
Leemos los primos
Alcanza con tachar hasta los múltiplos de los primos menores o iguales que √50 ≈ 7,07. Todos los que quedaron sin tachar son primos.
234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
Verificamos
Contamos los primos encontrados y comprobamos que ninguno es múltiplo de otro primo anterior.
$Hay 15 primos menores o iguales que 50 ✓$

Resultado

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

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Ejemplo 5: divisibilidad de 2340

Método: Criterios de divisibilidad

Aplicamos los criterios de divisibilidad

Los criterios permiten saber si un número es divisible por otro sin hacer la división, mirando sus cifras.

Divisor	Criterio	Miramos	¿Es divisible?
2	termina en cifra par	última cifra: 0	✔ sí
3	la suma de sus cifras es múltiplo de 3	2 + 3 + 4 + 0 = 9	✔ sí
4	sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 (o son 00)	dos últimas: 40	✔ sí
5	termina en 0 o en 5	última cifra: 0	✔ sí
6	es divisible por 2 y por 3 a la vez	mirá los criterios del 2 y del 3	✔ sí
8	sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8	tres últimas: 340	✘ no
9	la suma de sus cifras es múltiplo de 9	suma de cifras: 9	✔ sí
10	termina en 0	última cifra: 0	✔ sí
11	la diferencia entre la suma de cifras en lugar impar y en lugar par es múltiplo de 11	diferencia: -3	✘ no
25	termina en 00, 25, 50 o 75	dos últimas: 40	✘ no
100	termina en 00	dos últimas: 40	✘ no

Verificamos
Hacemos las divisiones por los números que cumplen el criterio: el resto tiene que dar 0.
$2340 : 2 = 1170, 2340 : 3 = 780, 2340 : 4 = 585, 2340 : 5 = 468, 2340 : 6 = 390, 2340 : 9 = 260, 2340 : 10 = 234 ✓$

Resultado

Divisible por: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10

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Ejemplo 6: divisores de 36

Método: Búsqueda de divisores de a pares

Buscamos los divisores de a pares
Probamos dividir por 1, 2, 3… hasta la raíz cuadrada (6). Cada vez que la división es exacta encontramos dos divisores: el divisor y el cociente.
Divisor Cociente (otro divisor)
1 36
2 18
3 12
4 9
6 6
Los ordenamos
$D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}$
Verificamos
Con la factorización se puede contar cuántos divisores hay: se suma 1 a cada exponente y se multiplican.
$36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$
$(2 + 1) \cdot (2 + 1) = 9 divisores ✓$

Divisor	Cociente (otro divisor)
1	36
2	18
3	12
4	9
6	6

Resultado

D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

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Ejemplo 7: factorizar 360

Método: Descomposición en factores primos

Dividimos por números primos
Dividimos por el menor primo posible (2, 3, 5, 7…) y seguimos con el cociente hasta llegar a 1.
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Escribimos la factorización
Juntamos los factores iguales como potencias.
$360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$
Verificamos
Multiplicamos todos los factores.
$2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 360 ✓$

Resultado

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

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Ojo con…

El mcd es el mayor divisor común (sale más chico que los números) y el mcm el menor múltiplo común (sale más grande).
El 1 no es primo ni compuesto, y el 2 es el único primo par.

360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

Teoría de números: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

¿Es primo?

Criba de Eratóstenes

Máximo común divisor

Mínimo común múltiplo

Criterios de divisibilidad

Descomposición en factores primos

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: mcd(12, 18)

Elegimos el método

Descomponemos en factores primos

Calculamos el MCD

Calculamos el MCM

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: mcm 24 36 60

Elegimos el método

Descomponemos en factores primos

Calculamos el MCD

Calculamos el MCM

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: ¿es primo 91?

Hasta dónde probar

Probamos con cada primo

Lo descomponemos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: criba hasta 50

Escribimos los números

Tachamos los múltiplos de 2

Tachamos los múltiplos de 3

Tachamos los múltiplos de 5

Tachamos los múltiplos de 7

Leemos los primos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: divisibilidad de 2340

Aplicamos los criterios de divisibilidad

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: divisores de 36

Buscamos los divisores de a pares

Los ordenamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 7: factorizar 360

Dividimos por números primos

Escribimos la factorización

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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