Sistemas de numeración: ejercicios resueltos paso a paso

En base b cada cifra vale b veces más que la de su derecha. Para pasar a base 10 se suman cifra · potencia de b; para pasar de base 10 a otra, se divide sucesivamente por b y se leen los restos al revés. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Sistemas de numeración

101 1_{2} = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 = 11

Números romanos

Los símbolos se suman, salvo que uno menor esté a la izquierda de uno mayor: ahí se resta.

XIV = 10 + (5 - 1) = 14

Reparto proporcional

Se suman las partes, se calcula cuánto vale una parte y se multiplica por lo que le toca a cada uno.

120 en 2 : 3 \Rightarrow una parte = \frac{120}{5} = 24

Términos semejantes

Solo se pueden sumar términos que tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes): se suman sus coeficientes.

3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x = 2 x^{2} + 7 x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 1011 de base 2 a base 10

Método: Divisiones sucesivas / suma de potencias

Pasamos de base 2 a base 10
Cada cifra se multiplica por la base elevada a su posición (contando desde 0 a la derecha). Después sumamos.
$101 1_{(2)} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$
$= 8 + 0 + 2 + 1 = 11$
Verificamos
Pasamos el resultado a base 10 y lo comparamos con el número original (también en base 10).
$1 1_{(10)} = 11 = 101 1_{(2)} ✓$

Resultado

101 1_{(2)} = 1 1_{(10)}

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Ejemplo 2: 255 a base 16

Método: Divisiones sucesivas / suma de potencias

Pasamos de base 10 a base 16
Dividimos sucesivamente por la base hasta que el cociente sea 0. El resultado se lee con los restos de abajo hacia arriba.
$255 = F F_{(16)}$
Número Divisor Cociente Resto
255 16 15 15 → F
15 16 0 15 → F
Verificamos
Pasamos el resultado a base 10 y lo comparamos con el número original.
$F F_{(16)} = 255 = 255 ✓$

Número	Divisor	Cociente	Resto
255	16	15	15 → F
15	16	0	15 → F

Resultado

25 5_{(10)} = F F_{(16)}

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Ejemplo 3: FF de base 16 a binario

Método: Agrupación de cifras binarias

Elegimos el método
Como 16 = 2⁴, cada cifra se reemplaza por 4 cifras binarias.
F F
1111 1111
Juntamos
$F F_{(16)} = 1111111 1_{(2)}$
Verificamos
Pasamos el resultado a base 10 y lo comparamos con el número original (también en base 10).
$1111111 1_{(2)} = 255 = F F_{(16)} ✓$

F	F
1111	1111

Resultado

F F_{(16)} = 1111111 1_{(2)}

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Ejemplo 4: 1994 a romano

Método: Números romanos

Descomponemos el número
Lo separamos en miles, centenas, decenas y unidades, y escribimos cada parte con sus símbolos (4 = IV, 9 = IX, 40 = XL, 90 = XC, 400 = CD, 900 = CM).
Valor Romano
1000 M
900 CM
90 XC
4 IV
Juntamos
$1994 = MCMXCIV$
Verificamos
Leemos el número romano que armamos.
$MCMXCIV = 1994 ✓$

Valor	Romano
1000	M
900	CM
90	XC
4	IV

Resultado

1994 = MCMXCIV

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Ejemplo 5: XLIV

Método: Números romanos

Leemos cada símbolo
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Si un símbolo está a la izquierda de otro de mayor valor, se resta; si no, se suma.
Símbolo Valor Se…
X 10 resta (está antes de L, que vale más)
L 50 suma
I 1 resta (está antes de V, que vale más)
V 5 suma
Sumamos
$X L I V = - 10 + 50 - 1 + 5 = 44$
Verificamos
Volvemos a escribirlo en romano.
$44 = XLIV ✓$

Símbolo	Valor	Se…
X	10	resta (está antes de L, que vale más)
L	50	suma
I	1	resta (está antes de V, que vale más)
V	5	suma

Resultado

XLIV = 44

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Ojo con…

Al pasar a base 10, cada cifra se multiplica por la base elevada a su posición, empezando por la potencia 0 a la derecha.
Al pasar de base 10 a otra base, los restos se leen de abajo hacia arriba.

Sistemas de numeración: ejercicios resueltos paso a paso

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