Potenciación y radicación: ejercicios resueltos paso a paso

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso. Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Valor absoluto

Es la distancia de un número al 0 en la recta numérica, por eso nunca es negativo. El opuesto cambia el signo y el inverso es 1 dividido el número.

∣ - 5∣ = 5, - (- 5) = 5, (- 5)^{- 1} = - \frac{1}{5}

Paso intermedio

Este paso conecta el anterior con el siguiente. Si te cuesta seguirlo, probá hacer la misma cuenta con números más simples.

simplificar \to entender

¿Es primo?

Si un número tiene un divisor, tiene uno menor o igual que su raíz cuadrada. Por eso alcanza con probar los primos hasta la raíz.

97 : 97 \approx 9, 8 \Rightarrow probamos 2, 3, 5, 7

Sumar fracciones

Solo se pueden sumar partes del mismo tamaño. Por eso llevamos las fracciones a un denominador común (el mcm) y recién ahí sumamos los numeradores.

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Fracción generatriz

Un decimal periódico es una fracción: multiplicando por potencias de 10 y restando, el período se cancela.

0, \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: $2^{3} \cdot 2^{4}$

Método: Jerarquía de las operaciones

Escribimos la operación
Recordá la jerarquía: primero potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Partimos de la operación tal como la escribiste. Empezamos por lo que está más adentro de los paréntesis.
$2^{3} \cdot 2^{4}$
Aplicamos propiedades de la potenciación
Producto de potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes.
$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{(3) + (4)}$
$2^{(3) + (4)}$
Sumas y restas
Sumamos y restamos de izquierda a derecha.
$3 + 4 = 7$
$Queda: 2^{7}$
Potencias y raíces
Resolvemos la potencia: la base se multiplica por sí misma tantas veces como indica el exponente.
$2^{7} = 128$
Verificamos
Repetimos la cuenta de otra forma: con decimales, como haría una calculadora, sin redondear en el medio. Si coincide con nuestro resultado, está bien.
$2^{3} \cdot 2^{4} \approx 128 ✓$

Resultado

128

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: $(- 2)^{3} + 3^{2} - 5^{0}$

Método: Jerarquía de las operaciones

Escribimos la operación
Recordá la jerarquía: primero potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Partimos de la operación tal como la escribiste. Los signos + y − que no están dentro de paréntesis separan términos: primero resolvemos cada término y al final sumamos y restamos. Empezamos por lo que está más adentro de los paréntesis.
$(- 2)^{3} + 3^{2} - 5^{0}$
Sumas y restas
Para sumar enteros: si tienen el mismo signo se suman y se conserva el signo; si tienen distinto signo se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto.
$- 2 = - 2$
$Queda: ((- 2))^{3} + 3^{2} - 5^{0}$
Potencias y raíces
Resolvemos la potencia: la base se multiplica por sí misma tantas veces como indica el exponente. Cualquier número distinto de cero elevado a la 0 da 1. Con base negativa: si el exponente es par da positivo, y si es impar da negativo.
$((- 2))^{3} = - 8$
$3^{2} = 9$
$5^{0} = 1$
$Queda: (- 8) + 9 - 1$
Sumas y restas
Para sumar enteros: si tienen el mismo signo se suman y se conserva el signo; si tienen distinto signo se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto.
$(- 8) + 9 - 1 = 0$
Verificamos
Repetimos la cuenta de otra forma: con decimales, como haría una calculadora, sin redondear en el medio. Si coincide con nuestro resultado, está bien.
$(- 2)^{3} + 3^{2} - 5^{0} \approx 0 ✓$

Resultado

0

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: $72$

Método: Extracción de factores de la raíz

Escribimos la raíz
La raíz no es exacta, pero la podemos simplificar: sacamos afuera los factores que se puedan.
$72$
Descomponemos el radicando en factores primos
Dividimos por los primos 2, 3, 5, 7… hasta llegar a 1.
$72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$
Agrupamos los factores
Cada grupo de 2 factores iguales sale de la raíz como un solo factor (porque $n a^{n} = a$ ). Lo que no completa un grupo se queda adentro.
$72 = 2^{2} \cdot 2 \cdot 3^{2}$
$72 = 62$
Verificamos
Volvemos a meter el factor adentro: lo elevamos al índice y lo multiplicamos por lo que quedó en la raíz.
$6^{2} \cdot 2 = 72 ✓$

Resultado

72 = 62 \approx 8, 485281

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: $354$

Método: Extracción de factores de la raíz

Escribimos la raíz
La raíz no es exacta, pero la podemos simplificar: sacamos afuera los factores que se puedan.
$354$
Descomponemos el radicando en factores primos
Dividimos por los primos 2, 3, 5, 7… hasta llegar a 1.
$54 = 2 \cdot 3^{3}$
Agrupamos los factores
Cada grupo de 3 factores iguales sale de la raíz como un solo factor (porque $n a^{n} = a$ ). Lo que no completa un grupo se queda adentro.
$354 = 3 2 \cdot 3^{3}$
$354 = 332$
Verificamos
Volvemos a meter el factor adentro: lo elevamos al índice y lo multiplicamos por lo que quedó en la raíz.
$3^{3} \cdot 2 = 54 ✓$

Resultado

354 = 332 \approx 3, 779763

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 5: $(2^{3})^{2} \div 2^{4}$

Método: Jerarquía de las operaciones

Escribimos la operación
Recordá la jerarquía: primero potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Partimos de la operación tal como la escribiste. Empezamos por lo que está más adentro de los paréntesis.
$(2^{3})^{2} : 2^{4}$
Aplicamos propiedades de la potenciación
Potencia de potencia: se conserva la base y se multiplican los exponentes. Cociente de potencias de igual base: se conserva la base y se restan los exponentes.
$(2^{3})^{2} = 2^{(3) \cdot (2)}$
$2^{(3) \cdot (2)} : 2^{4} = 2^{((3) \cdot (2)) - (4)}$
$2^{((3) \cdot (2)) - (4)}$
Multiplicaciones y divisiones
Multiplicamos.
$3 \cdot 2 = 6$
$Queda: 2^{6 - 4}$
Sumas y restas
Para sumar enteros: si tienen el mismo signo se suman y se conserva el signo; si tienen distinto signo se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto.
$6 - 4 = 2$
$Queda: 2^{2}$
Potencias y raíces
Resolvemos la potencia: la base se multiplica por sí misma tantas veces como indica el exponente.
$2^{2} = 4$
Verificamos
Repetimos la cuenta de otra forma: con decimales, como haría una calculadora, sin redondear en el medio. Si coincide con nuestro resultado, está bien.
$(2^{3})^{2} : 2^{4} \approx 4 ✓$

Resultado

4

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 6: $\frac{16}{25} + 8^{\frac{2}{3}}$

Método: Jerarquía de las operaciones

Escribimos la operación
Recordá la jerarquía: primero potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Partimos de la operación tal como la escribiste. Los signos + y − que no están dentro de paréntesis separan términos: primero resolvemos cada término y al final sumamos y restamos. Empezamos por lo que está más adentro de los paréntesis.
$\frac{16}{25} + 8^{\frac{2}{3}}$
Potencias y raíces
Calculamos la raíz: buscamos el número que, elevado al índice, da el radicando. La raíz de una fracción es la raíz del numerador sobre la raíz del denominador. Un exponente fraccionario es una raíz: el denominador es el índice y el numerador es la potencia.
$\frac{16}{25} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}$
$8^{\frac{2}{3}} = 3 8^{2} = 4$
$Queda: \frac{4}{5} + 4$
Sumas y restas
Para sumar fracciones de distinto denominador buscamos un denominador común (el mínimo común múltiplo) y escribimos fracciones equivalentes.
$\frac{4}{5} + 4 = \frac{4 + 20}{5} = \frac{24}{5}$
Expresamos el resultado
Escribimos el resultado de otras formas equivalentes (como decimal y como número mixto).
$\frac{24}{5} = 4, 8 = 4 \frac{4}{5}$
Verificamos
Repetimos la cuenta de otra forma: con decimales, como haría una calculadora, sin redondear en el medio. Si coincide con nuestro resultado, está bien.
$\frac{16}{25} + 8^{\frac{2}{3}} \approx 4, 8 ✓$

Resultado

\frac{24}{5}

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

(a + b)² no es a² + b²: falta el doble producto 2ab.
Un exponente negativo no hace negativo al número: 2⁻³ = 1/8.
a⁰ = 1 para cualquier a distinto de 0.

Potenciación y radicación: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Propiedades de las potencias

Valor absoluto

Paso intermedio

¿Es primo?

Sumar fracciones

Fracción generatriz

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 23⋅24

Escribimos la operación

Aplicamos propiedades de la potenciación

Sumas y restas

Potencias y raíces

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: (−2)3+32−50

Escribimos la operación

Sumas y restas

Potencias y raíces

Sumas y restas

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: 72​

Escribimos la raíz

Descomponemos el radicando en factores primos

Agrupamos los factores

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: 354​

Escribimos la raíz

Descomponemos el radicando en factores primos

Agrupamos los factores

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: (23)2÷24

Escribimos la operación

Aplicamos propiedades de la potenciación

Multiplicaciones y divisiones

Sumas y restas

Potencias y raíces

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: 2516​​+832​

Escribimos la operación

Potencias y raíces

Sumas y restas

Expresamos el resultado

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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