Números reales: ejercicios resueltos paso a paso

Un decimal periódico es una fracción: multiplicando por potencias de 10 y restando, el período se cancela. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Fracción generatriz

Un decimal periódico es una fracción: multiplicando por potencias de 10 y restando, el período se cancela.

0, \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Valor absoluto

Es la distancia de un número al 0 en la recta numérica, por eso nunca es negativo. El opuesto cambia el signo y el inverso es 1 dividido el número.

∣ - 5∣ = 5, - (- 5) = 5, (- 5)^{- 1} = - \frac{1}{5}

Paso intermedio

Este paso conecta el anterior con el siguiente. Si te cuesta seguirlo, probá hacer la misma cuenta con números más simples.

simplificar \to entender

Valor posicional

Cada cifra vale distinto según su lugar: unidades, decenas, centenas, y del otro lado de la coma décimos, centésimos, milésimos.

3, 25 = 3 + \frac{2}{10} + \frac{5}{100}

Fracciones

Una fracción indica una división: el denominador dice en cuántas partes iguales se divide y el numerador, cuántas se toman.

\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0, 75

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: clasificar √2

Método: Clasificación de números reales

Escribimos el número
Primero calculamos cuánto vale.
$2 \approx 1, 414214$
Miramos su expresión decimal
Tiene infinitas cifras decimales que no se repiten en ningún período: no se puede escribir como fracción de dos enteros, así que es irracional.
$2 \approx 1, 414214 \dots$
Lo clasificamos
Es un número irracional. Recordá que $N \subset Z \subset Q \subset R$ y que los irracionales $I$ completan los reales.
$2 \in I, R$
$2 \in / N, Z, Q$
Opuesto, inverso y valor absoluto
El opuesto es el que sumado da 0; el inverso es el que multiplicado da 1 (el 0 no tiene inverso); el valor absoluto es la distancia al cero.
$opuesto: - 1, 414214$
$inverso: \approx 0, 707107$
$valor absoluto: 1, 414214$
Verificamos
Si fuera racional, su expresión decimal terminaría o se repetiría. Con más cifras se ve que no pasa.
$2 \approx 1, 414213562373 \dots (no se repite) ✓$

Resultado

2 \in I (irracional)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: clasificar 0,(3)

Método: Clasificación de números reales

Escribimos el número
Este es el número que vamos a clasificar.
$0, \overline{3}$
Miramos su expresión decimal
Su expresión decimal es periódica (0,(3): el período 3 se repite para siempre). Todo número que se puede escribir como fracción de enteros es racional.
$0, \overline{3} = 0, \overline{3} = \frac{1}{3}$
Lo clasificamos
Es un número racional (no entero). Recordá que $N \subset Z \subset Q \subset R$ y que los irracionales $I$ completan los reales.
$0, \overline{3} \in Q, R$
$0, \overline{3} \in / N, Z, I$
Opuesto, inverso y valor absoluto
El opuesto es el que sumado da 0; el inverso es el que multiplicado da 1 (el 0 no tiene inverso); el valor absoluto es la distancia al cero.
$opuesto: - 0, \overline{3}$
$inverso: 3$
$valor absoluto: 0, \overline{3}$
Verificamos
Si es racional, al dividir numerador por denominador tiene que dar la misma expresión decimal.
$\frac{1}{3} = 0, \overline{3} ✓$

Resultado

0, \overline{3} \in Q (racional (no entero))

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Ejemplo 3: ordenar 3/4; -1; 0,7; √2; π

Método: Comparación por expresión decimal

Escribimos los números
Para comparar números escritos de distintas formas (fracciones, raíces, decimales), los pasamos todos a decimal.
$\frac{3}{4} = 0, 75$
$- 1 = - 1$
$0, 7 = 0, 7$
$2 \approx 1, 414214$
$π \approx 3, 141593$
Ordenamos de menor a mayor
Entre dos negativos, es menor el que está más lejos del cero. Cualquier negativo es menor que cualquier positivo.
$- 1 < 0, 7 < \frac{3}{4} < 2 < π$
Verificamos
Restamos cada número menos el anterior: si todas las diferencias son positivas (o cero), el orden es correcto.
$0, 7 - - 1 \approx 1, 7 \geq 0 ✓$
$\frac{3}{4} - 0, 7 \approx 0, 05 \geq 0 ✓$
$2 - \frac{3}{4} \approx 0, 664214 \geq 0 ✓$
$π - 2 \approx 1, 727379 \geq 0 ✓$

Resultado

- 1 < 0, 7 < \frac{3}{4} < 2 < π

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Ejemplo 4: $∣ - 5 ∣ + ∣ 3 - 8 ∣$

Método: Jerarquía de las operaciones

Escribimos la operación
Trabajamos con números reales. Partimos de la operación tal como la escribiste. Los signos + y − que no están dentro de paréntesis separan términos: primero resolvemos cada término y al final sumamos y restamos. Empezamos por lo que está más adentro de los paréntesis.
$∣ - 5 ∣ + ∣ 3 - 8 ∣$
Sumas y restas
Para sumar enteros: si tienen el mismo signo se suman y se conserva el signo; si tienen distinto signo se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto.
$- 5 = - 5$
$3 - 8 = - 5$
$Queda: ∣ (- 5) ∣ + ∣ (- 5) ∣$
Valor absoluto
El valor absoluto es la distancia al cero, así que siempre da positivo (o cero).
$∣ (- 5) ∣ = 5$
$∣ (- 5) ∣ = 5$
$Queda: 5 + 5$
Sumas y restas
Sumamos y restamos de izquierda a derecha.
$5 + 5 = 10$
Verificamos
Repetimos la cuenta de otra forma: con decimales, como haría una calculadora, sin redondear en el medio. Si coincide con nuestro resultado, está bien.
$∣ - 5 ∣ + ∣ 3 - 8 ∣ \approx 10 ✓$

Resultado

10

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Ojo con…

Una raíz de un número que no es cuadrado perfecto es irracional: √2 no es 1,41 (eso es una aproximación).
Todo entero también es racional y real: los conjuntos están uno dentro del otro.

Números reales: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Fracción generatriz

Valor absoluto

Paso intermedio

Valor posicional

Fracciones

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: clasificar √2

Escribimos el número

Miramos su expresión decimal

Lo clasificamos

Opuesto, inverso y valor absoluto

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: clasificar 0,(3)

Escribimos el número

Miramos su expresión decimal

Lo clasificamos

Opuesto, inverso y valor absoluto

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: ordenar 3/4; -1; 0,7; √2; π

Escribimos los números

Ordenamos de menor a mayor

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: ∣−5∣+∣3−8∣

Escribimos la operación

Sumas y restas

Valor absoluto

Sumas y restas

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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Ejemplo 4: $∣ - 5 ∣ + ∣ 3 - 8 ∣$