Matemática financiera: ejercicios resueltos paso a paso

Si la tasa es mensual, el tiempo va en meses; si es anual, en años. Si no coinciden, se convierte el tiempo. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Tasa y tiempo en la misma unidad

Si la tasa es mensual, el tiempo va en meses; si es anual, en años. Si no coinciden, se convierte el tiempo.

6 meses = 0, 5 a \overset{n}{˜} os

Interés compuesto

Cada período los intereses se suman al capital y también ganan intereses: el dinero crece de forma exponencial.

M = C (1 + i)^{n}

Interés simple

En el interés simple el interés de cada período se calcula siempre sobre el capital inicial: crece en línea recta.

M = C (1 + i \cdot n)

Sistema francés

Las cuotas son iguales. Al principio casi toda la cuota son intereses; con el tiempo, cada vez más va a reducir la deuda.

c = \frac{C i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: capital $ 100.000 al 5 % mensual durante 6 meses, interés compuesto

Método: Interés compuesto

Anotamos los datos
La tasa y el tiempo tienen que estar en la misma unidad. Si no lo están, pasamos el tiempo a la unidad de la tasa.
$C = $ 100.000, 00$
$i = 5% mensual = 0, 05$
$n = 6 meses$
Usamos la fórmula del interés compuesto
En el interés compuesto, los intereses de cada período se suman al capital y también generan intereses (“interés sobre interés”).
$M = C (1 + i)^{n} = $ 100.000, 00 \cdot (1 + 0, 05)^{6}$
$M = $ 100.000, 00 \cdot 1, 340096 = $ 134.009, 56$
Calculamos el interés ganado
Es la diferencia entre el monto final y el capital.
$I = M - C = $ 134.009, 56 - $ 100.000, 00 = $ 34.009, 56$

Verificamos

Capitalizamos período por período: cada interés se calcula sobre el capital acumulado. Al final tiene que dar el monto.

$ 134.009, 56 = $ 134.009, 56 ✓

con inter \overset{e}{ˊ} s simple ser \overset{ı}{ˊ} an $ 130.000, 00

Período	Interés	Capital acumulado
1	$5.000, 00 < / t d >< t d >$ 105.000,00
2	$5.250, 00 < / t d >< t d >$ 110.250,00
3	$5.512, 50 < / t d >< t d >$ 115.762,50
4	$5.788, 13 < / t d >< t d >$ 121.550,63
5	$6.077, 53 < / t d >< t d >$ 127.628,16
6	$6.381, 41 < / t d >< t d >$ 134.009,56

Resultado

M = $ 134.009, 56, I = $ 34.009, 56

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Ejemplo 2: interés simple de $ 20.000 al 3 % mensual durante 8 meses

Método: Interés simple

Anotamos los datos
La tasa y el tiempo tienen que estar en la misma unidad. Si no lo están, pasamos el tiempo a la unidad de la tasa.
$C = $ 20.000, 00$
$i = 3% mensual = 0, 03$
$n = 8 meses$
Calculamos el interés simple
En el interés simple, el interés se calcula siempre sobre el capital inicial: no se suman los intereses ganados.
$I = C \cdot i \cdot n = $ 20.000, 00 \cdot 0, 03 \cdot 8 = $ 4.800, 00$
Calculamos el monto
El monto es lo que se tiene al final: capital más interés.
$M = C + I = $ 20.000, 00 + $ 4.800, 00 = $ 24.800, 00$

Verificamos

Sumamos período por período el interés (siempre sobre el capital inicial): al final tiene que dar el monto.

$ 24.800, 00 = $ 24.800, 00 ✓

Período	Interés del período	Acumulado
1	$600, 00 < / t d >< t d >$ 20.600,00
2	$600, 00 < / t d >< t d >$ 21.200,00
3	$600, 00 < / t d >< t d >$ 21.800,00
4	$600, 00 < / t d >< t d >$ 22.400,00
5	$600, 00 < / t d >< t d >$ 23.000,00
6	$600, 00 < / t d >< t d >$ 23.600,00
7	$600, 00 < / t d >< t d >$ 24.200,00
8	$600, 00 < / t d >< t d >$ 24.800,00

Resultado

I = $ 4.800, 00, M = $ 24.800, 00

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Ejemplo 3: cuota de un préstamo de $ 500.000 al 4 % mensual en 12 cuotas

Método: Sistema francés

Anotamos los datos
La tasa y el tiempo tienen que estar en la misma unidad. Si no lo están, pasamos el tiempo a la unidad de la tasa.
$C = $ 500.000, 00$
$i = 4% mensual = 0, 04$
$n = 12 meses$
Usamos la fórmula de la cuota (sistema francés)
En el sistema francés todas las cuotas son iguales. Cada cuota paga los intereses del saldo y el resto amortiza (reduce) la deuda.
$c = \frac{C \cdot i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}} = \frac{$ 500 . 000 , 00 \cdot 0 , 04}{1 - ( 1 + 0 , 04 ) ^{- 12}} = $ 53.276, 09$

Armamos el cuadro de amortización

Interés = saldo × tasa; amortización = cuota − interés; el saldo baja en lo que se amortiza.

total pagado = 12 \cdot $ 53.276, 09 = $ 639.313, 04

intereses totales = $ 139.313, 04

Cuota	Pago	Interés	Amortización	Saldo
1	$53.276, 09 < / t d >< t d >$ 20.000,00	$33.276, 09 < / t d >< t d >$ 466.723,91
2	$53.276, 09 < / t d >< t d >$ 18.668,96	$34.607, 13 < / t d >< t d >$ 432.116,78
3	$53.276, 09 < / t d >< t d >$ 17.284,67	$35.991, 41 < / t d >< t d >$ 396.125,37
4	$53.276, 09 < / t d >< t d >$ 15.845,01	$37.431, 07 < / t d >< t d >$ 358.694,30
…	…	…	…	…
11	$53.276, 09 < / t d >< t d >$ 4.019,35	$49.256, 74 < / t d >< t d >$ 51.227,01
12	$53.276, 09 < / t d >< t d >$ 2.049,08	$51.227, 01 < / t d >< t d >$ 0,00

Verificamos
Con la última cuota el saldo tiene que quedar en cero.
$saldo final = $ 0, 00 ✓$

Resultado

cuota = $ 53.276, 09

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Ejemplo 4: ¿cuánto hay que depositar hoy para tener $ 1.000.000 en 2 años al 40 % anual?

Método: Valor actual

Anotamos los datos
La tasa y el tiempo tienen que estar en la misma unidad. Si no lo están, pasamos el tiempo a la unidad de la tasa.
$M = $ 1.000.000, 00$
$i = 40% anual = 0, 4$
$n = 2 a \overset{n}{˜} os$
Despejamos el capital (valor actual)
Para saber cuánto hay que depositar hoy, despejamos C de la fórmula del interés compuesto: es “descontar” el monto.
$C = \frac{M}{( 1 + i ) ^{n}} = \frac{$ 1 . 000 . 000 , 00}{( 1 + 0 , 4 ) ^{2}} = $ 510.204, 08$
Verificamos
Capitalizamos ese valor durante el mismo tiempo: tiene que volver a dar el monto pedido.
$$ 510.204, 08 \cdot (1 + 0, 4)^{2} = $ 1.000.000, 00 ✓$

Resultado

C = $ 510.204, 08

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Ejemplo 5: plazo fijo de $ 250.000 al 36 % anual durante 30 días

Método: Interés simple

Anotamos los datos
La tasa y el tiempo tienen que estar en la misma unidad. Si no lo están, pasamos el tiempo a la unidad de la tasa.
$C = $ 250.000, 00$
$i = 36% anual = 0, 36$
$n = 0, 082192 a \overset{n}{˜} os$
Calculamos el interés simple
En el interés simple, el interés se calcula siempre sobre el capital inicial: no se suman los intereses ganados.
$I = C \cdot i \cdot n = $ 250.000, 00 \cdot 0, 36 \cdot 0, 082192 = $ 7.397, 26$
Calculamos el monto
El monto es lo que se tiene al final: capital más interés.
$M = C + I = $ 250.000, 00 + $ 7.397, 26 = $ 257.397, 26$
Verificamos
Sumamos período por período el interés (siempre sobre el capital inicial): al final tiene que dar el monto.
$$ 257.397, 26 = $ 257.397, 26 ✓$
Período Interés del período Acumulado
1 $7.397, 26 < / t d >< t d >$ 257.397,26

Período	Interés del período	Acumulado
1	$7.397, 26 < / t d >< t d >$ 257.397,26

Resultado

I = $ 7.397, 26, M = $ 257.397, 26

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Ojo con…

La tasa y el tiempo tienen que estar en la misma unidad (tasa mensual con meses).
Pasá el porcentaje a decimal: 5 % = 0,05.
En el interés compuesto los intereses se suman al capital; en el simple, no.

Matemática financiera: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Tasa y tiempo en la misma unidad

Interés compuesto

Interés simple

Sistema francés

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: capital $ 100.000 al 5 % mensual durante 6 meses, interés compuesto

Anotamos los datos

Usamos la fórmula del interés compuesto

Calculamos el interés ganado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: interés simple de $ 20.000 al 3 % mensual durante 8 meses

Anotamos los datos

Calculamos el interés simple

Calculamos el monto

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: cuota de un préstamo de $ 500.000 al 4 % mensual en 12 cuotas

Anotamos los datos

Usamos la fórmula de la cuota (sistema francés)

Armamos el cuadro de amortización

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: ¿cuánto hay que depositar hoy para tener $ 1.000.000 en 2 años al 40 % anual?

Anotamos los datos

Despejamos el capital (valor actual)

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: plazo fijo de $ 250.000 al 36 % anual durante 30 días

Anotamos los datos

Calculamos el interés simple

Calculamos el monto

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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