Números enteros: ejercicios resueltos paso a paso

Dividendo = divisor · cociente + resto, con el resto menor que el divisor. Cada paso de la división larga baja una cifra y busca cuántas veces entra el divisor. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

División entera

Dividendo = divisor · cociente + resto, con el resto menor que el divisor. Cada paso de la división larga baja una cifra y busca cuántas veces entra el divisor.

47 = 5 \cdot 9 + 2

Valor absoluto

Es la distancia de un número al 0 en la recta numérica, por eso nunca es negativo. El opuesto cambia el signo y el inverso es 1 dividido el número.

∣ - 5∣ = 5, - (- 5) = 5, (- 5)^{- 1} = - \frac{1}{5}

Paso intermedio

Este paso conecta el anterior con el siguiente. Si te cuesta seguirlo, probá hacer la misma cuenta con números más simples.

simplificar \to entender

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: $- 8 + 5 \cdot (- 3) - (- 12) \div 4$

Método: Jerarquía de las operaciones

Escribimos la operación
Trabajamos con números enteros (positivos, negativos y el cero). Partimos de la operación tal como la escribiste. Los signos + y − que no están dentro de paréntesis separan términos: primero resolvemos cada término y al final sumamos y restamos. Empezamos por lo que está más adentro de los paréntesis.
$- 8 + 5 \cdot (- 3) - (- 12) : 4$
Sumas y restas
Para sumar enteros: si tienen el mismo signo se suman y se conserva el signo; si tienen distinto signo se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto.
$- 3 = - 3$
$- 12 = - 12$
$Queda: - 8 + 5 \cdot (- 3) - (- 12) : 4$
Multiplicaciones y divisiones
Multiplicamos. Dividimos. Regla de los signos: signos iguales dan +, signos distintos dan −.
$5 \cdot (- 3) = - 15$
$(- 12) : 4 = - 3$
$Queda: - 8 + (- 15) - (- 3)$
Sumas y restas
Para sumar enteros: si tienen el mismo signo se suman y se conserva el signo; si tienen distinto signo se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto.
$- 8 + (- 15) - (- 3) = - 20$
Verificamos
Repetimos la cuenta de otra forma: con decimales, como haría una calculadora, sin redondear en el medio. Si coincide con nuestro resultado, está bien.
$- 8 + 5 \cdot (- 3) - (- 12) : 4 \approx - 20 ✓$

Resultado

- 20

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: $47 \div 6$

Método: División entera (algoritmo de la división)

Escribimos la división
Buscamos cuántas veces entra el divisor en el dividendo (el cociente) y cuánto sobra (el resto).
$47 : 6$
Hacemos la división larga
Tomamos cifras del dividendo de izquierda a derecha. En cada vuelta vemos cuántas veces entra el divisor, restamos y bajamos la cifra siguiente.
Tomamos Cuántas veces entra Multiplicamos Resto
47 47 : 6 = 7 7 × 6 = 42 5
Cociente y resto
El resto no es 0: la división no es exacta. El resultado exacto se puede escribir como fracción.
$cociente = 7, resto = 5$
$47 : 6 = \frac{47}{6} = 7, 8 \overline{3}$
Verificamos
Se tiene que cumplir: dividendo = divisor × cociente + resto, con el resto menor que el divisor.
$6 \cdot 7 + 5 = 47 = 47 ✓$

Tomamos	Cuántas veces entra	Multiplicamos	Resto
47	47 : 6 = 7	7 × 6 = 42	5

Resultado

47 = 6 \cdot 7 + 5

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: La temperatura era -3 °C, subió 8 grados y después bajó 12

Método: Problema de aplicación con enteros

Identificamos los datos
Buscamos el valor inicial y cada cambio. Lo que sube, se gana o se deposita suma; lo que baja, se pierde o se retira resta.
Dato Valor Operación
Inicial $- 3$
Cambio 1 $8$ suma
Cambio 2 $12$ suma
Planteamos la cuenta
Escribimos todo en una sola expresión con números enteros.
$- 3 + 8 + 12$
Resolvemos
Vamos haciendo los cambios en orden. Recordá: restar es sumar el opuesto, y si el resultado pasa por debajo del cero queda negativo.
$- 3 + 8 = 5$
$5 + 12 = 17$
Verificamos
Deshacemos los cambios desde el final (cada operación con su opuesta): tenemos que volver al valor inicial.
$17 - 12 = 5$
$5 - 8 = - 3$
$- 3 = - 3 ✓$

Dato	Valor	Operación
Inicial	$- 3$
Cambio 1	$8$	suma
Cambio 2	$12$	suma

Resultado

Resultado final: 17

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: Tenía 1500 pesos, gasté 800 y cobré 2300

Método: Problema de aplicación con enteros

Identificamos los datos
Buscamos el valor inicial y cada cambio. Lo que sube, se gana o se deposita suma; lo que baja, se pierde o se retira resta.
Dato Valor Operación
Inicial $1500$
Cambio 1 $800$ suma
Cambio 2 $2300$ suma
Planteamos la cuenta
Escribimos todo en una sola expresión con números enteros.
$1500 + 800 + 2300$
Resolvemos
Vamos haciendo los cambios en orden. Recordá: restar es sumar el opuesto, y si el resultado pasa por debajo del cero queda negativo.
$1500 + 800 = 2300$
$2300 + 2300 = 4600$
Verificamos
Deshacemos los cambios desde el final (cada operación con su opuesta): tenemos que volver al valor inicial.
$4600 - 2300 = 2300$
$2300 - 800 = 1500$
$1500 = 1500 ✓$

Dato	Valor	Operación
Inicial	$1500$
Cambio 1	$800$	suma
Cambio 2	$2300$	suma

Resultado

Resultado final: 4600

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Menos por menos da más solo en la multiplicación y la división: −3 − 5 = −8, no 8.
El valor absoluto de un negativo es positivo: |−7| = 7.

Números enteros: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

División entera

Valor absoluto

Paso intermedio

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: −8+5⋅(−3)−(−12)÷4

Escribimos la operación

Sumas y restas

Multiplicaciones y divisiones

Sumas y restas

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: 47÷6

Escribimos la división

Hacemos la división larga

Cociente y resto

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: La temperatura era -3 °C, subió 8 grados y después bajó 12

Identificamos los datos

Planteamos la cuenta

Resolvemos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: Tenía 1500 pesos, gasté 800 y cobré 2300

Identificamos los datos

Planteamos la cuenta

Resolvemos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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Ejemplo 1: $- 8 + 5 \cdot (- 3) - (- 12) \div 4$

Ejemplo 2: $47 \div 6$