Vectores en el espacio: ejercicios resueltos paso a paso

Un vector del espacio tiene tres componentes (x ; y ; z). El vector de A a B es B − A. Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Vectores en el espacio

Un vector del espacio tiene tres componentes (x ; y ; z). El vector de A a B es B − A.

A B = B - A

Producto vectorial

Da un vector perpendicular a los dos, y su módulo es el área del paralelogramo que forman.

∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sen α

Suma y resta de vectores

Se opera componente a componente. Gráficamente, la suma es la diagonal del paralelogramo que forman los vectores.

(1; 2; 3) + (4; 0; - 1) = (5; 2; 2)

Producto escalar

Da un número que mide cuánto “apuntan” en la misma dirección. Si es 0, los vectores son perpendiculares.

u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α

Módulo y versor

El módulo es la longitud del vector (Pitágoras en tres dimensiones). El versor es el vector de largo 1 en la misma dirección.

∣ u ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Producto mixto

Es el volumen (con signo) del paralelepípedo que forman tres vectores; si da 0, están en un mismo plano.

V = ∣ (u \times v) \cdot w ∣

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: u = (1, 2, 3), v = (4, 0, -1)

Método: Operaciones con vectores

Anotamos los vectores
Cada vector del espacio tiene tres componentes (x ; y ; z).
$u = (1; 2; 3)$
$v = (4; 0; - 1)$
Calculamos los módulos
El módulo (longitud) es $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
$∣ u ∣ = (1)^{2} + (2)^{2} + (3)^{2} = 14 \approx 3, 741657$
$∣ v ∣ = (4)^{2} + (0)^{2} + (- 1)^{2} = 17 \approx 4, 123106$
Sumamos
Se suman componente a componente.
$u + v = (1; 2; 3) + (4; 0; - 1) = (5; 2; 2)$
Restamos
Se restan componente a componente.
$u - v = (- 3; 2; 4)$
Calculamos el producto escalar
Se multiplican las componentes correspondientes y se suman. Da un número (no un vector).
$u \cdot v = (1) \cdot (4) + (2) \cdot (0) + (3) \cdot (- 1) = 1$
Calculamos el ángulo entre los vectores
De $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α$ despejamos el coseno.
$cos α = \frac{1}{14 \cdot 17} \approx 0, 06482$
$α \approx 86, 283 5^{\circ}$
Calculamos el producto vectorial
Con el determinante de i, j, k y las componentes de los dos vectores. Da un vector perpendicular a ambos.
$u \times v = i 14 j 20 k 3 - 1$
$= (- 2; 13; - 8)$
Verificamos
Comprobamos los resultados por otro camino (propiedades de los productos de vectores).
$(u + v) - v = (1; 2; 3) = u ✓$
$∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α \approx 1 = u \cdot v ✓$
$(u \times v) \cdot u = 0, (u \times v) \cdot v = 0 ✓$

Resultado

∣ u ∣ = 14, ∣ v ∣ = 17, u + v = (5; 2; 2), u - v = (- 3; 2; 4), u \cdot v = 1, α \approx 86, 2 8^{\circ}, u \times v = (- 2; 13; - 8)

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Ejemplo 2: ángulo entre u = (1, 0, 1) y v = (0, 1, 1)

Método: Vectores en el espacio

Anotamos los vectores
Cada vector del espacio tiene tres componentes (x ; y ; z).
$u = (1; 0; 1)$
$v = (0; 1; 1)$
Calculamos los módulos
El módulo (longitud) es $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
$∣ u ∣ = (1)^{2} + (0)^{2} + (1)^{2} = 2 \approx 1, 414214$
$∣ v ∣ = (0)^{2} + (1)^{2} + (1)^{2} = 2 \approx 1, 414214$
Calculamos el producto escalar
Se multiplican las componentes correspondientes y se suman. Da un número (no un vector).
$u \cdot v = (1) \cdot (0) + (0) \cdot (1) + (1) \cdot (1) = 1$
Calculamos el ángulo entre los vectores
De $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α$ despejamos el coseno.
$cos α = \frac{1}{2 \cdot 2} \approx 0, 5$
$α \approx 6 0^{\circ}$
Verificamos
Comprobamos los resultados por otro camino (propiedades de los productos de vectores).
$∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α \approx 1 = u \cdot v ✓$

Resultado

∣ u ∣ = 2, ∣ v ∣ = 2, u \cdot v = 1, α \approx 6 0^{\circ}

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Ejemplo 3: producto vectorial de u = (2, -1, 3) y v = (1, 4, -2)

Método: Vectores en el espacio

Anotamos los vectores
Cada vector del espacio tiene tres componentes (x ; y ; z).
$u = (2; - 1; 3)$
$v = (1; 4; - 2)$
Calculamos el producto vectorial
Con el determinante de i, j, k y las componentes de los dos vectores. Da un vector perpendicular a ambos.
$u \times v = i 21 j - 1 4 k 3 - 2$
$= (- 10; 7; 9)$
Verificamos
Comprobamos los resultados por otro camino (propiedades de los productos de vectores).
$(u \times v) \cdot u = 0, (u \times v) \cdot v = 0 ✓$

Resultado

u \times v = (- 10; 7; 9)

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Ejemplo 4: área del triángulo con u = (1, 2, 0) y v = (3, 1, 2)

Método: Vectores en el espacio

Anotamos los vectores
Cada vector del espacio tiene tres componentes (x ; y ; z).
$u = (1; 2; 0)$
$v = (3; 1; 2)$
Calculamos el producto vectorial
Con el determinante de i, j, k y las componentes de los dos vectores. Da un vector perpendicular a ambos.
$u \times v = i 13 j 21 k 02$
$= (4; - 2; - 5)$
Calculamos el área del triángulo
El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo que forman los vectores; el triángulo es la mitad.
$A = \frac{1}{2} ∣ u \times v ∣ = \frac{1}{2} 45 = \frac{3 5}{2}$
Verificamos
Comprobamos los resultados por otro camino (propiedades de los productos de vectores).
$(u \times v) \cdot u = 0, (u \times v) \cdot v = 0 ✓$
$∣ u \times v ∣^{2} + (u \cdot v)^{2} = 70 = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} ✓$

Resultado

u \times v = (4; - 2; - 5), A = \frac{3 5}{2}

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Ejemplo 5: volumen del paralelepípedo u = (1, 0, 2), v = (2, 1, 0), w = (0, 3, 1)

Método: Vectores en el espacio

Anotamos los vectores
Cada vector del espacio tiene tres componentes (x ; y ; z).
$u = (1; 0; 2)$
$v = (2; 1; 0)$
$w = (0; 3; 1)$
Calculamos el producto vectorial
Con el determinante de i, j, k y las componentes de los dos vectores. Da un vector perpendicular a ambos.
$u \times v = i 12 j 01 k 20$
$= (- 2; 4; 1)$
Calculamos el producto mixto
El volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores es el valor absoluto de $(u \times v) \cdot w$ . Si da 0, los tres son coplanares.
$(u \times v) \cdot w = (- 2; 4; 1) \cdot (0; 3; 1) = 13$
$V = ∣13∣ = 13$
Verificamos
Comprobamos los resultados por otro camino (propiedades de los productos de vectores).
$(u \times v) \cdot u = 0, (u \times v) \cdot v = 0 ✓$
$120013201 = 13 ✓$

Resultado

u \times v = (- 2; 4; 1), V = 13

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Ejemplo 6: vector entre los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 0, 5)

Método: Vector entre dos puntos

Armamos el vector entre los puntos
El vector que va de A a B se obtiene restando: punto final menos punto inicial.
$A B = B - A = (4; 0; 5) - (1; 2; 3) = (3; - 2; 2)$
Calculamos su módulo (la distancia entre los puntos)
El módulo es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes.
$A B = (3)^{2} + (- 2)^{2} + (2)^{2} = 17 \approx 4, 123106$
Verificamos
Sumando el vector al punto A tenemos que llegar a B.
$(1; 2; 3) + (3; - 2; 2) = (4; 0; 5) = B ✓$

Resultado

A B = (3; - 2; 2), A B = 17

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Ojo con…

El producto escalar da un número; el vectorial da un vector.
u × v = −(v × u): el orden cambia el signo.
El módulo es la raíz de la suma de los cuadrados, no la suma de las componentes.

Vectores en el espacio: ejercicios resueltos paso a paso

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