Lugar geométrico: ejercicios resueltos paso a paso

Cada escalón de la escalera de unidades multiplica o divide por 10 (por 100 en superficie y por 1000 en volumen). Además, 1 dm³ = 1 litro. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Sistema métrico

Cada escalón de la escalera de unidades multiplica o divide por 10 (por 100 en superficie y por 1000 en volumen). Además, 1 dm³ = 1 litro.

3, 5 km = 3500 m

Elevar al cuadrado

Elevar los dos miembros al cuadrado sirve para sacar raíces, pero puede agregar soluciones falsas: por eso después hay que verificar.

x = - 2 \Rightarrow x = 4 (¡no verifica!)

Punto medio

Cada coordenada del punto medio es el promedio de las coordenadas de los extremos.

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

Ecuación de la circunferencia

Todos sus puntos están a la misma distancia (el radio) del centro: aplicando la fórmula de distancia se obtiene la ecuación canónica.

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

Valor absoluto

Es la distancia de un número al 0 en la recta numérica, por eso nunca es negativo. El opuesto cambia el signo y el inverso es 1 dividido el número.

∣ - 5∣ = 5, - (- 5) = 5, (- 5)^{- 1} = - \frac{1}{5}

Proporciones

Dos razones forman una proporción si son iguales. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: con eso se despeja el valor desconocido.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: lugar geométrico de los puntos que equidistan de (1, 2) y (5, 4)

Método: Condición con la fórmula de la distancia

Planteamos un punto genérico
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. Llamamos P = (x ; y) a cualquiera de esos puntos y escribimos la condición con la fórmula de la distancia.
$P = (x; y)$
Escribimos la condición
Cada punto está a la misma distancia de A que de B.
$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 4)^{2}$
Elevamos al cuadrado
Así desaparecen las raíces.
$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 4)^{2}$
Desarrollamos y simplificamos
Desarrollamos los cuadrados: los términos con x² y con y² se cancelan, así que queda una recta.
$2 x + y - 9 = 0$
Reconocemos la figura
Es una recta: la mediatriz del segmento AB (perpendicular a AB y que pasa por su punto medio).
Verificamos
Tomamos un punto que seguro cumple la condición (el punto medio de AB) y lo reemplazamos en la ecuación.
$M = (3; 3) : 0 = 0 ✓$

Resultado

2 x + y - 9 = 0 (mediatriz)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: lugar geométrico de los puntos a distancia 3 de (2, 1)

Método: Condición con la fórmula de la distancia

Planteamos un punto genérico
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. Llamamos P = (x ; y) a cualquiera de esos puntos y escribimos la condición con la fórmula de la distancia.
$P = (x; y)$
Escribimos la condición
Cada punto está a la misma distancia r del punto fijo C.
$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 3$
Elevamos al cuadrado
Así desaparece la raíz.
$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$
Desarrollamos y simplificamos
Desarrollamos los cuadrados y pasamos todo a un miembro.
$x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0$
Reconocemos la figura
Quedan x² e y² con el mismo coeficiente: es una circunferencia de centro $(2; 1)$ y radio $3$ .
Verificamos
Tomamos un punto que seguro cumple la condición (el que está a r unidades a la derecha del centro) y lo reemplazamos en la ecuación.
$Q = (5; 1) : 0 = 0 ✓$

Resultado

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0 (circunferencia)

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Ejemplo 3: lugar geométrico con foco (0, 2) y directriz y = -2

Método: Condición con la fórmula de la distancia

Planteamos un punto genérico
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. Llamamos P = (x ; y) a cualquiera de esos puntos y escribimos la condición con la fórmula de la distancia.
$P = (x; y)$
Escribimos la condición
Cada punto está a la misma distancia del foco F que de la recta directriz. La distancia a una recta horizontal o vertical es la diferencia de coordenadas en valor absoluto.
$x^{2} + (y - 2)^{2} = ∣ y - (- 2) ∣$
Elevamos al cuadrado
Así desaparecen la raíz y el valor absoluto.
$x^{2} + (y - 2)^{2} = (y - (- 2))^{2}$
Desarrollamos y simplificamos
Desarrollamos los cuadrados de binomio y pasamos todo de un lado. El término con y² se cancela.
$x^{2} - 8 y = 0$
Reconocemos la figura
Una sola de las variables quedó al cuadrado: es una parábola. Su vértice está justo en el medio entre el foco y la directriz.
Verificamos
Tomamos un punto que seguro cumple la condición (el vértice) y lo reemplazamos en la ecuación.
$V = (0; 0) : 0 = 0 ✓$

Resultado

x^{2} - 8 y = 0 (par \overset{a}{ˊ} bola)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 4: lugar geométrico de los puntos cuya distancia a (0, 0) es el doble que a (3, 0)

Método: Condición con la fórmula de la distancia

Planteamos un punto genérico
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. Llamamos P = (x ; y) a cualquiera de esos puntos y escribimos la condición con la fórmula de la distancia.
$P = (x; y)$
Escribimos la condición
La distancia de cada punto a A es 2 veces su distancia a B.
$x^{2} + y^{2} = 2 \cdot (x - 3)^{2} + y^{2}$
Elevamos al cuadrado
Así desaparecen las raíces.
$x^{2} + y^{2} = 4 \cdot [(x - 3)^{2} + y^{2}]$
Desarrollamos y simplificamos
Desarrollamos, pasamos todo a un miembro y juntamos semejantes.
$x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$
Reconocemos la figura
Quedan x² e y² con el mismo coeficiente: es una circunferencia de centro $(4; 0)$ y radio $2$ .
Verificamos
Tomamos un punto que seguro cumple la condición (el que divide a AB en la razón dada) y lo reemplazamos en la ecuación.
$P = (2; 0) : 0 = 0 ✓$

Resultado

x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0 (circunferencia de Apolonio)

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

Respetá el orden de las coordenadas: primero x y después y.
Al restar coordenadas negativas, usá paréntesis: 3 − (−2) = 5.

Lugar geométrico: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Sistema métrico

Elevar al cuadrado

Punto medio

Ecuación de la circunferencia

Valor absoluto

Proporciones

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: lugar geométrico de los puntos que equidistan de (1, 2) y (5, 4)

Planteamos un punto genérico

Escribimos la condición

Elevamos al cuadrado

Desarrollamos y simplificamos

Reconocemos la figura

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: lugar geométrico de los puntos a distancia 3 de (2, 1)

Planteamos un punto genérico

Escribimos la condición

Elevamos al cuadrado

Desarrollamos y simplificamos

Reconocemos la figura

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: lugar geométrico con foco (0, 2) y directriz y = -2

Planteamos un punto genérico

Escribimos la condición

Elevamos al cuadrado

Desarrollamos y simplificamos

Reconocemos la figura

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: lugar geométrico de los puntos cuya distancia a (0, 0) es el doble que a (3, 0)

Planteamos un punto genérico

Escribimos la condición

Elevamos al cuadrado

Desarrollamos y simplificamos

Reconocemos la figura

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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