Pendiente de una recta: ejercicios resueltos paso a paso

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Triángulos

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180°. Por sus lados se clasifica en equilátero, isósceles o escaleno; por sus ángulos, en acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 18 0^{\circ}

Función inversa

La inversa “deshace” lo que hace la función. Al intercambiar x e y, su gráfico es el reflejo del original respecto de la recta y = x.

f (f^{- 1} (x)) = x

Despejar

En una igualdad podemos hacer lo mismo de los dos lados sin que deje de ser cierta. “Pasar restando” es en realidad restar lo mismo en ambos miembros.

2 x + 3 = 11 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: pendiente entre (1, 2) y (3, 8)

Método: Cociente de incrementos

Ubicamos los puntos
La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x.
$A = (1; 2), B = (3; 8)$
Calculamos la pendiente
Es el cociente entre la variación de y y la variación de x: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
Interpretamos
Es positiva: la recta sube (es creciente). El ángulo de inclinación cumple $tan α = m$ .
$α = 71, 565 1^{\circ} \approx 7 1^{\circ} 3 3^{'} 5 4^{''}$
Verificamos
Partimos de A y avanzamos con la pendiente hasta la x de B: tenemos que llegar justo a la y de B.
$y_{1} + m (x_{2} - x_{1}) = 2 + 3 \cdot 2 = 8 = y_{2} ✓$

Resultado

m = 3, α = 71, 565 1^{\circ} \approx 7 1^{\circ} 3 3^{'} 5 4^{''}

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Ejemplo 2: pendiente de 2x + 3y - 6 = 0

Método: Forma explícita

Escribimos la recta
Para leer la pendiente despejamos y: en y = mx + b, la pendiente es el número que multiplica a x.
$2 x + 3 y - 6 = 0$
$y = - \frac{2}{3} x + 2$
Leemos la pendiente
También sale directo de la forma general: $m = - \frac{A}{B}$ .
$m = - \frac{2}{3} = - \frac{2}{3}$
Calculamos el ángulo de inclinación
Es el ángulo que forma la recta con el eje x positivo: $tan α = m$ .
$α = 146, 309 9^{\circ} \approx 14 6^{\circ} 1 8^{'} 3 6^{''}$
Verificamos
Tomamos dos puntos de la recta (con x = 0 y x = 1) y calculamos la pendiente con ellos.
$m = \frac{\frac{4}{3} - 2}{1 - 0} = - \frac{2}{3} ✓$

Resultado

m = - \frac{2}{3}, α = 146, 309 9^{\circ} \approx 14 6^{\circ} 1 8^{'} 3 6^{''}

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Ejemplo 3: pendiente de una recta de 60°

Método: Tangente del ángulo

Calculamos la pendiente
La pendiente es la tangente del ángulo de inclinación: $m = tan α$ .
$m = tan 6 0^{\circ} = 3$
Verificamos
Volvemos al ángulo con la función inversa: $α = arctan m$ .
$arctan (1, 732051) \approx 6 0^{\circ} ✓$

Resultado

m = 3

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Ejemplo 4: ¿son paralelas 2x + y = 3 y 4x + 2y = 1?

Método: Comparación de pendientes

Escribimos las rectas y sus pendientes
Pasamos cada recta a la forma explícita y = mx + b para leer la pendiente.
$r_{1} : 2 x + y - 3 = 0 \Rightarrow y = - 2 x + 3, m_{1} = - 2$
$r_{2} : 4 x + 2 y - 1 = 0 \Rightarrow y = - 2 x + \frac{1}{2}, m_{2} = - 2$
Comparamos
Tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen: son paralelas.
$m_{1} = m_{2} = - 2$
Verificamos
Comprobamos con los coeficientes de la forma general: son paralelas si $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0$ y perpendiculares si $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ .
$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0 ✓$

Resultado

Las rectas son paralelas

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Ejemplo 5: ángulo entre y = 2x + 1 y y = -x + 3

Método: Comparación de pendientes

Escribimos las rectas y sus pendientes
Pasamos cada recta a la forma explícita y = mx + b para leer la pendiente.
$r_{1} : 2 x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = 2 x + 1, m_{1} = 2$
$r_{2} : x + y - 3 = 0 \Rightarrow y = - x + 3, m_{2} = - 1$
Calculamos el ángulo entre las rectas
No son paralelas ni perpendiculares: se cortan formando un ángulo. Con las pendientes: $tan φ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$ .
$tan φ = \frac{- 1 - 2}{1 + 2 \cdot ( - 1 )} = 3$
$φ \approx 71, 565 1^{\circ} \approx 7 1^{\circ} 3 3^{'} 5 4^{''}$
Verificamos
Comprobamos con los coeficientes de la forma general: son paralelas si $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0$ y perpendiculares si $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ .
$φ \approx ∣ 13 5^{\circ} - 63, 434 9^{\circ} \approx 6 3^{\circ} 2 6^{'} 6^{''} ∣ (o su suplemento) ✓$

Resultado

Las rectas son oblicuas

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Ojo con…

La pendiente es (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁): no inviertas el cociente.
Una recta vertical no tiene pendiente (división por cero).

Pendiente de una recta: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Pendiente

Triángulos

Función inversa

Despejar

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: pendiente entre (1, 2) y (3, 8)

Ubicamos los puntos

Calculamos la pendiente

Interpretamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: pendiente de 2x + 3y - 6 = 0

Escribimos la recta

Leemos la pendiente

Calculamos el ángulo de inclinación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: pendiente de una recta de 60°

Calculamos la pendiente

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: ¿son paralelas 2x + y = 3 y 4x + 2y = 1?

Escribimos las rectas y sus pendientes

Comparamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: ángulo entre y = 2x + 1 y y = -x + 3

Escribimos las rectas y sus pendientes

Calculamos el ángulo entre las rectas

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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