Todos sus puntos están a la misma distancia (el radio) del centro: aplicando la fórmula de distancia se obtiene la ecuación canónica. Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.
Todos sus puntos están a la misma distancia (el radio) del centro: aplicando la fórmula de distancia se obtiene la ecuación canónica.
Sumamos y restamos el número que convierte una parte de la expresión en un trinomio cuadrado perfecto, para escribirla como (x + k)².
Multiplicamos las ecuaciones por números convenientes para que, al sumarlas, una incógnita se cancele.
Cada coordenada del punto medio es el promedio de las coordenadas de los extremos.
La tangente toca a la curva en un solo punto de esa zona y tiene su misma inclinación: su pendiente es la derivada en ese punto (en una circunferencia, es perpendicular al radio).
Sale de completar cuadrados en ax² + bx + c = 0. El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna.
Método: Centro y radio
Conocemos el centro y el radio.
Forma canónica: , con centro (h ; k) y radio r. Si desarrollamos los cuadrados, obtenemos la forma general.
Reemplazamos los puntos de la circunferencia en la ecuación general: tiene que dar 0.
Método: Completar cuadrados
Está en forma general (o la llevamos a esa forma): x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
Agrupamos los términos con x y los términos con y. A cada grupo le sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal (y lo sumamos también del otro lado) para formar trinomios cuadrados perfectos.
De la forma canónica leemos el centro (cambiando los signos de adentro de los paréntesis) y el radio (la raíz del segundo miembro).
Volvemos a desarrollar la forma canónica: tiene que dar la ecuación general original.
Método: Sistema de ecuaciones
Buscamos D, E y F de la forma general x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Cada punto tiene que cumplirla: reemplazamos y queda un sistema de 3 ecuaciones.
Lo resolvemos por reducción (o con cualquier método de sistemas).
De la forma general: , y .
Forma canónica: , con centro (h ; k) y radio r. Si desarrollamos los cuadrados, obtenemos la forma general.
Reemplazamos los puntos de la circunferencia en la ecuación general: tiene que dar 0.
Método: Extremos de un diámetro
El centro es el punto medio del diámetro y el radio es la mitad de su longitud.
Forma canónica: , con centro (h ; k) y radio r. Si desarrollamos los cuadrados, obtenemos la forma general.
Reemplazamos los puntos de la circunferencia en la ecuación general: tiene que dar 0.
Método: Tangente perpendicular al radio
Está en forma general (o la llevamos a esa forma): x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
Agrupamos los términos con x y los términos con y. A cada grupo le sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal (y lo sumamos también del otro lado) para formar trinomios cuadrados perfectos.
El radio que va del centro al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. El vector (x₀ − h ; y₀ − k) es perpendicular a la recta buscada.
La distancia del centro a la tangente tiene que ser igual al radio.
Método: Intersección recta-circunferencia (sustitución)
Está en forma general (o la llevamos a esa forma): x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
Agrupamos los términos con x y los términos con y. A cada grupo le sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal (y lo sumamos también del otro lado) para formar trinomios cuadrados perfectos.
Los puntos de corte cumplen las dos ecuaciones. Despejamos y de la recta y lo reemplazamos en la circunferencia.
El discriminante dice cuántos cortes hay: dos (secante), uno (tangente) o ninguno (exterior).
Reemplazamos cada valor en la recta para obtener la otra coordenada. Hay dos puntos: la recta es secante.
Cada punto tiene que cumplir la ecuación de la circunferencia y la de la recta.