Línea recta: ejercicios resueltos paso a paso

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x. Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

¿Para qué el gráfico?

Ver el problema dibujado ayuda a entenderlo y a controlar el resultado: si la cuenta dice una cosa y el dibujo muestra otra, algo anda mal.

dibujo \approx cuenta

Conjuntos

La unión junta los elementos de ambos conjuntos, la intersección deja solo los comunes y el complemento, los que no están.

A \cup B, A \cap B, A^{c}

Determinantes

El determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. Si es distinto de 0, el sistema tiene solución única y la regla de Cramer la da como cociente de determinantes.

a c b d = a d - b c

Despejar

En una igualdad podemos hacer lo mismo de los dos lados sin que deje de ser cierta. “Pasar restando” es en realidad restar lo mismo en ambos miembros.

2 x + 3 = 11 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: recta que pasa por (1, 2) y (3, 8)

Método: Recta por dos puntos (punto-pendiente)

Ubicamos los puntos
Por dos puntos pasa una sola recta.
$A = (1; 2), B = (3; 8)$
Calculamos la pendiente
$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$
Usamos la forma punto-pendiente
Con la pendiente y uno de los puntos: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ . Después despejamos y.
$y - 2 = 3 (x - 1)$
$y = 3 x - 1$
Escribimos la recta en sus distintas formas
La general es Ax + By + C = 0; la explícita, y = mx + b (m es la pendiente y b la ordenada al origen); la segmentaria muestra dónde corta a los ejes.
$general: 3 x - y - 1 = 0$
$expl \overset{ı}{ˊ} cita: y = 3 x - 1$
$segmentaria: \frac{x}{\frac{1}{3}} + \frac{y}{- 1} = 1$
Lo vemos en el gráfico
Verificamos
Reemplazamos los dos puntos en la ecuación general: tiene que dar 0 en los dos.
$(1; 2) : 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 + (- 1) = 0 ✓$
$(3; 8) : 3 \cdot 3 + (- 1) \cdot 8 + (- 1) = 0 ✓$

Resultado

y = 3 x - 1 (3 x - y - 1 = 0)

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Ejemplo 2: recta por (2, 1) paralela a 3x - y + 2 = 0

Método: Recta paralela por un punto

Miramos la recta dada
Necesitamos su pendiente.
$3 x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3 x + 2, m = 3$
Pendiente de la paralela
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
$m^{'} = 3$
Escribimos la ecuación
Usamos la forma punto-pendiente con el punto dado.
$y - 1 = 3 (x - 2)$
$y = 3 x - 5$
$3 x - y - 5 = 0$
Verificamos
El punto tiene que cumplir la ecuación nueva, y las rectas tienen que ser paralelas.
$3 x - y - 5 en (2; 1) = 0 ✓$
$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0 ✓$

Resultado

y = 3 x - 5 (3 x - y - 5 = 0)

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Ejemplo 3: recta por (2, 1) perpendicular a 3x - y + 2 = 0

Método: Recta perpendicular por un punto

Miramos la recta dada
Necesitamos su pendiente.
$3 x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3 x + 2, m = 3$
Pendiente de la perpendicular
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1: la pendiente nueva es la inversa cambiada de signo.
$m^{'} = - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$
Escribimos la ecuación
Usamos la forma punto-pendiente con el punto dado.
$y - 1 = - \frac{1}{3} (x - 2)$
$y = - \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}$
$x + 3 y - 5 = 0$
Verificamos
El punto tiene que cumplir la ecuación nueva, y las rectas tienen que ser perpendiculares.
$x + 3 y - 5 en (2; 1) = 0 ✓$
$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0 ✓$

Resultado

y = - \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} (x + 3 y - 5 = 0)

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Ejemplo 4: intersección de 2x + y = 7 y x - y = 2

Método: Sistema de ecuaciones (Cramer)

Escribimos las rectas
El punto de intersección cumple las dos ecuaciones a la vez: resolvemos el sistema.
${2 x + y - 7 = 0 x - y - 2 = 0$
Resolvemos con determinantes
Pasamos los números al otro miembro (A·x + B·y = −C) y usamos la regla de Cramer.
$Δ = 21 1 - 1 = - 3$
$x = \frac{7 2 1 - 1}{- 3} = 3, y = \frac{2 1 7 2}{- 3} = 1$
Verificamos
Reemplazamos el punto en las dos ecuaciones: tiene que dar 0 en ambas.
$2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + (- 7) = 0 ✓$
$1 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1 + (- 2) = 0 ✓$

Resultado

I = (3; 1)

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Ejemplo 5: distancia de (1, 2) a 3x + 4y - 5 = 0

Método: Distancia de un punto a una recta

Aplicamos la fórmula
La distancia de un punto (x₀ ; y₀) a la recta Ax + By + C = 0 es $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ .
$d = \frac{∣ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + ( - 5 ) ∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{6}{25}$
$d = \frac{6}{5}$
Verificamos
Buscamos el pie de la perpendicular H (el punto de la recta más cercano a P): tiene que estar en la recta y su distancia a P tiene que ser d.
$H = (\frac{7}{25}; \frac{26}{25}) : 3 x + 4 y - 5 = 0 ✓$
$d (P, H)^{2} = \frac{36}{25} = d^{2} ✓$

Resultado

d = \frac{6}{5}

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Ejemplo 6: $2 x - 3 y + 6 = 0$

Método: Formas de la ecuación de la recta

Escribimos la ecuación
La pasamos a la forma general Ax + By + C = 0 (con coeficientes enteros).
$2 x - 3 y + 6 = 0$
Escribimos la recta en sus distintas formas
La general es Ax + By + C = 0; la explícita, y = mx + b (m es la pendiente y b la ordenada al origen); la segmentaria muestra dónde corta a los ejes.
$general: 2 x - 3 y + 6 = 0$
$expl \overset{ı}{ˊ} cita: y = \frac{2}{3} x + 2$
$segmentaria: \frac{x}{- 3} + \frac{y}{2} = 1$
Cortes con los ejes
Con x = 0 obtenemos dónde corta al eje y; con y = 0, dónde corta al eje x.
$(0; 2), (- 3; 0)$
Verificamos
Los puntos de corte tienen que cumplir la ecuación general.
$(0; 2) : 0 = 0 ✓$
$(- 3; 0) : 0 = 0 ✓$

Resultado

2 x - 3 y + 6 = 0, y = \frac{2}{3} x + 2

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Ojo con…

En la forma punto-pendiente, los signos de las coordenadas del punto cambian: y − 3 = m(x + 2) pasa por (−2; 3).
Para paralela, misma pendiente; para perpendicular, la opuesta e inversa.

Línea recta: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Pendiente

¿Para qué el gráfico?

Conjuntos

Determinantes

Despejar

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: recta que pasa por (1, 2) y (3, 8)

Ubicamos los puntos

Calculamos la pendiente

Usamos la forma punto-pendiente

Escribimos la recta en sus distintas formas

Lo vemos en el gráfico

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: recta por (2, 1) paralela a 3x - y + 2 = 0

Miramos la recta dada

Pendiente de la paralela

Escribimos la ecuación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: recta por (2, 1) perpendicular a 3x - y + 2 = 0

Miramos la recta dada

Pendiente de la perpendicular

Escribimos la ecuación

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: intersección de 2x + y = 7 y x - y = 2

Escribimos las rectas

Resolvemos con determinantes

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: distancia de (1, 2) a 3x + 4y - 5 = 0

Aplicamos la fórmula

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: 2x−3y+6=0

Escribimos la ecuación

Escribimos la recta en sus distintas formas

Cortes con los ejes

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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Ejemplo 6: $2 x - 3 y + 6 = 0$