Sumas: ejercicios resueltos paso a paso

El área bajo la curva se aproxima con rectángulos. Cuantos más (y más finitos) usemos, mejor la aproximación; en el límite da exactamente la integral. Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Sumas de Riemann

El área bajo la curva se aproxima con rectángulos. Cuantos más (y más finitos) usemos, mejor la aproximación; en el límite da exactamente la integral.

\int_{a}^{b} f = n \to \infty lim \sum f (x_{i}) Δ x

Sumatorias

Σ es una forma corta de escribir sumas largas. Las constantes salen afuera y la suma de una suma se separa.

i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Reparto proporcional

Se suman las partes, se calcula cuánto vale una parte y se multiplica por lo que le toca a cada uno.

120 en 2 : 3 \Rightarrow una parte = \frac{120}{5} = 24

Área con integrales

Sumamos infinitos rectángulos de altura (arriba − abajo) y ancho dx. Si la curva cruza el eje, separamos los tramos para que no se resten áreas.

A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

Pasar al límite

Después de simplificar, los términos que tienen h (o 1/n) se hacen tan chicos como queramos: en el límite valen 0.

h \to 0 lim (2 x + h) = 2 x

Regla de Barrow

La integral definida es la acumulación del cambio: alcanza con calcular la primitiva en los extremos y restar.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∑_{i=1}^{10} i^2

Método: Propiedades y fórmulas de sumas

Leemos la sumatoria
La letra griega Σ indica una suma: reemplazamos i por cada entero desde 1 hasta 10 y sumamos los resultados.
$i = 1 \sum 10 i^{2}$
Usamos las propiedades de la sumatoria
La sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias, y las constantes salen afuera: $\sum (c a_{i} + b_{i}) = c \sum a_{i} + \sum b_{i}$ .
$i = 1 \sum 10 i^{2} = \sum i^{2}$
Usamos las fórmulas de las sumas de potencias
Estas fórmulas se demuestran por inducción y conviene tenerlas a mano.
$i = 1 \sum n i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$
Reemplazamos el límite superior
Ponemos n = 10.
$1 \cdot 385 = 385$
Verificamos
Sumamos todos los términos uno por uno (con la computadora).
$(1)^{2} + \dots + (10)^{2} = 385 ✓$

Resultado

i = 1 \sum 10 i^{2} = 385

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Ejemplo 2: ∑_{i=1}^{n} (2i + 3)

Método: Propiedades y fórmulas de sumas

Leemos la sumatoria
La letra griega Σ indica una suma: reemplazamos i por cada entero desde 1 hasta n y sumamos los resultados.
$i = 1 \sum n (2 i + 3)$
Usamos las propiedades de la sumatoria
La sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias, y las constantes salen afuera: $\sum (c a_{i} + b_{i}) = c \sum a_{i} + \sum b_{i}$ .
$i = 1 \sum n (2 i + 3) = 3 \sum 1 + 2 \sum i$
Usamos las fórmulas de las sumas de potencias
Estas fórmulas se demuestran por inducción y conviene tenerlas a mano.
$i = 1 \sum n 1 = n$
$i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
Juntamos todo
Reemplazamos cada suma por su fórmula y simplificamos: queda un polinomio en n.
$i = 1 \sum n (2 i + 3) = n^{2} + 4 n$
Verificamos
Probamos la fórmula con n = 1, 2 y 3, sumando a mano.
$n = 1 : 5 = 5 ✓, n = 2 : 12 = 12 ✓, n = 3 : 21 = 21 ✓$

Resultado

i = 1 \sum n (2 i + 3) = n^{2} + 4 n

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Ejemplo 3: ∑_{k=3}^{8} (k^2 - k)

Método: Propiedades y fórmulas de sumas

Leemos la sumatoria
La letra griega Σ indica una suma: reemplazamos k por cada entero desde 3 hasta 8 y sumamos los resultados.
$k = 3 \sum 8 (k^{2} - k)$
Usamos las propiedades de la sumatoria
La sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias, y las constantes salen afuera: $\sum (c a_{i} + b_{i}) = c \sum a_{i} + \sum b_{i}$ .
$k = 3 \sum 8 (k^{2} - k) = - \sum k + \sum k^{2}$
Usamos las fórmulas de las sumas de potencias
Estas fórmulas se demuestran por inducción y conviene tenerlas a mano. Como empieza en k = 3, restamos la suma hasta 2.
$i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
$i = 1 \sum n i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$
Reemplazamos el límite superior
Ponemos n = 8 y restamos lo que corresponde a n = 2.
$- 1 \cdot 33 + 1 \cdot 199 = 166$
Verificamos
Sumamos todos los términos uno por uno (con la computadora).
$(3)^{2} - (3) + \dots + (8)^{2} - (8) = 166 ✓$

Resultado

k = 3 \sum 8 (k^{2} - k) = 166

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Ejemplo 4: suma de Riemann de f(x) = x^2 en [0, 2] con n = 4 rectángulos inscritos

Método: Sumas de Riemann

Dividimos el intervalo
Partimos [0; 2] en 4 partes iguales de ancho Δx = (b − a)/n.
$Δ x = \frac{2 - ( 0 )}{4} = \frac{1}{2}$
Calculamos los rectángulos inscritos
Usamos rectángulos inscritos (altura mínima en cada tramo). Cada área es altura × Δx.
i Subintervalo Punto f(x) Área
1 $[0; \frac{1}{2}]$ $0$ $0$ $0$
2 $[\frac{1}{2}; 1]$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$
3 $[1; \frac{3}{2}]$ $1$ $1$ $\frac{1}{2}$
4 $[\frac{3}{2}; 2]$ $\frac{3}{2}$ $\frac{9}{4}$ $\frac{9}{8}$
Sumamos las áreas
La suma de Riemann aproxima el área bajo la curva.
$S_{4} = \frac{7}{4}$
Verificamos
Los rectángulos inscritos quedan por debajo de la curva: la suma tiene que ser menor o igual que la integral.
$\int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} \Rightarrow S_{4} \leq 2, 666667 ✓$

i	Subintervalo	Punto	f(x)	Área
1	$[0; \frac{1}{2}]$	$0$	$0$	$0$
2	$[\frac{1}{2}; 1]$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
3	$[1; \frac{3}{2}]$	$1$	$1$	$\frac{1}{2}$
4	$[\frac{3}{2}; 2]$	$\frac{3}{2}$	$\frac{9}{4}$	$\frac{9}{8}$

Resultado

S_{4} = \frac{7}{4}

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Ejemplo 5: suma de Riemann de f(x) = x^2 en [0, 2] con n = 4 rectángulos circunscritos

Método: Sumas de Riemann

Dividimos el intervalo
Partimos [0; 2] en 4 partes iguales de ancho Δx = (b − a)/n.
$Δ x = \frac{2 - ( 0 )}{4} = \frac{1}{2}$
Calculamos los rectángulos inscritos
Usamos rectángulos inscritos (altura mínima en cada tramo). Cada área es altura × Δx.
i Subintervalo Punto f(x) Área
1 $[0; \frac{1}{2}]$ $0$ $0$ $0$
2 $[\frac{1}{2}; 1]$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$
3 $[1; \frac{3}{2}]$ $1$ $1$ $\frac{1}{2}$
4 $[\frac{3}{2}; 2]$ $\frac{3}{2}$ $\frac{9}{4}$ $\frac{9}{8}$
Sumamos las áreas
La suma de Riemann aproxima el área bajo la curva.
$S_{4} = \frac{7}{4}$
Verificamos
Los rectángulos inscritos quedan por debajo de la curva: la suma tiene que ser menor o igual que la integral.
$\int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} \Rightarrow S_{4} \leq 2, 666667 ✓$

i	Subintervalo	Punto	f(x)	Área
1	$[0; \frac{1}{2}]$	$0$	$0$	$0$
2	$[\frac{1}{2}; 1]$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
3	$[1; \frac{3}{2}]$	$1$	$1$	$\frac{1}{2}$
4	$[\frac{3}{2}; 2]$	$\frac{3}{2}$	$\frac{9}{4}$	$\frac{9}{8}$

Resultado

S_{4} = \frac{7}{4}

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Ejemplo 6: límite de la suma de Riemann de f(x) = x^2 en [0, 2]

Método: Límite de sumas de Riemann

Dividimos el intervalo en n partes iguales
Usamos n rectángulos de ancho Δx = (b − a)/n y alturas en el extremo derecho de cada subintervalo: $x_{i} = a + i Δ x$ .
$Δ x = \frac{2}{n}, x_{i} = 0 + \frac{2 i}{n}$
$S_{n} = i = 1 \sum n f (x_{i}) Δ x$
Calculamos la suma con las fórmulas de Σ
Desarrollamos f(xᵢ), sacamos lo que no depende de i y usamos las fórmulas de Σ1, Σi, Σi², Σi³.
$S_{n} = \frac{4}{n} + \frac{\frac{4}{3}}{n ^{2}} + \frac{8}{3}$
Hacemos tender n a infinito
Los términos con n en el denominador tienden a 0: el límite es la integral definida.
$n \to \infty lim S_{n} = \frac{8}{3} = \int_{0}^{2} x^{2} d x$
Verificamos
Calculamos la integral con la regla de Barrow: tiene que dar lo mismo.
$\int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} ✓$

Resultado

n \to \infty lim S_{n} = \frac{8}{3}

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Ojo con…

En Σ los límites indican desde y hasta dónde va el índice: contá bien los términos.

Sumas: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Sumas de Riemann

Sumatorias

Reparto proporcional

Área con integrales

Pasar al límite

Regla de Barrow

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∑_{i=1}^{10} i^2

Leemos la sumatoria

Usamos las propiedades de la sumatoria

Usamos las fórmulas de las sumas de potencias

Reemplazamos el límite superior

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: ∑_{i=1}^{n} (2i + 3)

Leemos la sumatoria

Usamos las propiedades de la sumatoria

Usamos las fórmulas de las sumas de potencias

Juntamos todo

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: ∑_{k=3}^{8} (k^2 - k)

Leemos la sumatoria

Usamos las propiedades de la sumatoria

Usamos las fórmulas de las sumas de potencias

Reemplazamos el límite superior

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: suma de Riemann de f(x) = x^2 en [0, 2] con n = 4 rectángulos inscritos

Dividimos el intervalo

Calculamos los rectángulos inscritos

Sumamos las áreas

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: suma de Riemann de f(x) = x^2 en [0, 2] con n = 4 rectángulos circunscritos

Dividimos el intervalo

Calculamos los rectángulos inscritos

Sumamos las áreas

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: límite de la suma de Riemann de f(x) = x^2 en [0, 2]

Dividimos el intervalo en n partes iguales

Calculamos la suma con las fórmulas de Σ

Hacemos tender n a infinito

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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