Sucesiones y series: ejercicios resueltos paso a paso

Una serie es la suma de los infinitos términos de una sucesión. Converge si las sumas parciales Sₙ se acercan a un número. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Series

Una serie es la suma de los infinitos términos de una sucesión. Converge si las sumas parciales Sₙ se acercan a un número.

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

Sucesiones

Una sucesión es una lista infinita de números. Converge si sus términos se acercan a un número cuando n crece.

a_{n} = \frac{1}{n} \to 0

Condición necesaria

Si una serie converge, sus términos tienen que tender a 0. Ojo: que tiendan a 0 no alcanza (la serie armónica diverge).

\sum a_{n} converge \Rightarrow a_{n} \to 0

Serie geométrica

Cada término es el anterior por la misma razón r. Converge solo si |r| < 1.

n = 0 \sum \infty a r^{n} = \frac{a}{1 - r}

Serie p

La serie de 1/nᵖ converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1. Sirve para comparar con otras series.

\sum \frac{1}{n ^{2}} converge, \sum \frac{1}{n} diverge

Criterio del cociente

Se compara cada término con el anterior: si a la larga el cociente es menor que 1, los términos se achican como en una geométrica.

L = lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} < 1 \Rightarrow converge

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: sucesión a_n = (2n + 1)/(n + 3)

Método: Límite de una sucesión

Escribimos la sucesión y sus primeros términos
Una sucesión es una lista ordenada de números: reemplazamos n por 1, 2, 3, …
$a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$
n aₙ
1 $\frac{3}{4}$
2 $1$
3 $\frac{7}{6}$
4 $\frac{9}{7}$
5 $\frac{11}{8}$
6 $\frac{13}{9}$
Dividimos por la mayor potencia
Es una indeterminación ∞/∞. Dividimos numerador y denominador por x^1: los términos con x en el denominador tienden a 0.
$\frac{2 x + 1}{x + 3}$
Comparamos los grados
Numerador y denominador tienen el mismo grado: el límite es el cociente de los coeficientes principales.
$\frac{2}{1} = 2$
Concluimos si converge
El límite es un número: la sucesión es convergente y tiende a 2.
$n \to \infty lim a_{n} = 2$
Estudiamos la monotonía
Comparamos cada término con el siguiente: si siempre aumenta es creciente, si siempre disminuye es decreciente.
$creciente$
$acotada entre 0, 75 y 2$
Verificamos
Calculamos términos con n muy grande: tienen que acercarse al límite.
$a_{1000} \approx 1, 995015, a_{1 0^{6}} \approx 1, 999995 ✓$

n	aₙ
1	$\frac{3}{4}$
2	$1$
3	$\frac{7}{6}$
4	$\frac{9}{7}$
5	$\frac{11}{8}$
6	$\frac{13}{9}$

Resultado

n \to \infty lim a_{n} = 2 (convergente)

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Ejemplo 2: serie ∑_{n=1}^{∞} 1/2^n

Método: Serie geométrica

Escribimos la serie
Una serie es la suma de infinitos términos. Converge si sus sumas parciales Sₙ se acercan a un número.
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}}$
n aₙ Sₙ
1 $\frac{1}{2}$ 0{,}5
2 $\frac{1}{4}$ 0{,}75
3 $\frac{1}{8}$ 0{,}875
4 $\frac{1}{16}$ 0{,}9375
5 $\frac{1}{32}$ 0{,}96875
6 $\frac{1}{64}$ 0{,}984375
Miramos la condición necesaria
Si los términos no tienden a 0, la serie no puede converger (se van sumando cantidades que no se achican).
$n \to \infty lim a_{n} = 0$
Reconocemos una serie geométrica
Cada término se obtiene multiplicando el anterior por la misma razón r. Si |r| < 1, converge y su suma es el primer término sobre (1 − r).
$r = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{2}$
$S = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - ( \frac{1}{2} )} = 1$
Verificamos con las sumas parciales
Si converge, las sumas parciales se estabilizan en un número.
$se estabilizan ✓$
N S_N
10 0,999023
100 1
1000 1
10000 1

n	aₙ	Sₙ
1	$\frac{1}{2}$	0{,}5
2	$\frac{1}{4}$	0{,}75
3	$\frac{1}{8}$	0{,}875
4	$\frac{1}{16}$	0{,}9375
5	$\frac{1}{32}$	0{,}96875
6	$\frac{1}{64}$	0{,}984375

N	S_N
10	0,999023
100	1
1000	1
10000	1

Resultado

n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}} converge, S = 1

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Ejemplo 3: serie ∑_{n=1}^{∞} 1/n^2

Método: Serie p

Escribimos la serie
Una serie es la suma de infinitos términos. Converge si sus sumas parciales Sₙ se acercan a un número.
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}$
n aₙ Sₙ
1 $1$ 1
2 $\frac{1}{4}$ 1{,}25
3 $\frac{1}{9}$ 1{,}361111
4 $\frac{1}{16}$ 1{,}423611
5 $\frac{1}{25}$ 1{,}463611
6 $\frac{1}{36}$ 1{,}491389
Miramos la condición necesaria
Si los términos no tienden a 0, la serie no puede converger (se van sumando cantidades que no se achican).
$n \to \infty lim a_{n} = 0$
Reconocemos una serie p
Para n grande, el término se comporta como $\frac{1}{n ^{p}}$ con p = (grado del denominador) − (grado del numerador). La serie $\sum \frac{1}{n ^{p}}$ converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.
$p = 2 - 0 = 2$
$\Rightarrow converge$
Verificamos con las sumas parciales
Si converge, las sumas parciales se estabilizan en un número.
$se estabilizan ✓$
N S_N
10 1,549768
100 1,634984
1000 1,643935
10000 1,644834

n	aₙ	Sₙ
1	$1$	1
2	$\frac{1}{4}$	1{,}25
3	$\frac{1}{9}$	1{,}361111
4	$\frac{1}{16}$	1{,}423611
5	$\frac{1}{25}$	1{,}463611
6	$\frac{1}{36}$	1{,}491389

N	S_N
10	1,549768
100	1,634984
1000	1,643935
10000	1,644834

Resultado

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} converge, S \approx 1, 6448

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Ejemplo 4: serie ∑_{n=1}^{∞} n/2^n

Método: Criterio del cociente

Escribimos la serie
Una serie es la suma de infinitos términos. Converge si sus sumas parciales Sₙ se acercan a un número.
$n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}}$
n aₙ Sₙ
1 $\frac{1}{2}$ 0{,}5
2 $\frac{1}{2}$ 1
3 $\frac{3}{8}$ 1{,}375
4 $\frac{1}{4}$ 1{,}625
5 $\frac{5}{32}$ 1{,}78125
6 $\frac{3}{32}$ 1{,}875
Miramos la condición necesaria
Si los términos no tienden a 0, la serie no puede converger (se van sumando cantidades que no se achican).
$n \to \infty lim a_{n} = 0$
Usamos el criterio del cociente
Calculamos $L = lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ : si L < 1 converge; si L > 1 diverge.
$L \approx 0, 5005$
$\Rightarrow converge$
Verificamos con las sumas parciales
Si converge, las sumas parciales se estabilizan en un número.
$se estabilizan ✓$
N S_N
10 1,988281
100 2
1000 2
10000 2

n	aₙ	Sₙ
1	$\frac{1}{2}$	0{,}5
2	$\frac{1}{2}$	1
3	$\frac{3}{8}$	1{,}375
4	$\frac{1}{4}$	1{,}625
5	$\frac{5}{32}$	1{,}78125
6	$\frac{3}{32}$	1{,}875

N	S_N
10	1,988281
100	2
1000	2
10000	2

Resultado

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} converge, S \approx 2

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Ejemplo 5: serie ∑_{n=1}^{∞} (-1)^n/n

Método: Criterio de Leibniz

Escribimos la serie
Una serie es la suma de infinitos términos. Converge si sus sumas parciales Sₙ se acercan a un número.
$n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$
n aₙ Sₙ
1 $- 1$ -1
2 $\frac{1}{2}$ -0{,}5
3 $- \frac{1}{3}$ -0{,}833333
4 $\frac{1}{4}$ -0{,}583333
5 $- \frac{1}{5}$ -0{,}783333
6 $\frac{1}{6}$ -0{,}616667
Miramos la condición necesaria
Si los términos no tienden a 0, la serie no puede converger (se van sumando cantidades que no se achican).
$n \to \infty lim a_{n} = 0$
Usamos el criterio de Leibniz
Es una serie alternada (los signos van cambiando). Si |aₙ| decrece y tiende a 0, la serie converge.
$|aₙ| decrece y tiende a 0 \to converge$
Verificamos con las sumas parciales
Si converge, las sumas parciales se estabilizan en un número.
$se estabilizan ✓$
N S_N
10 -0,645635
100 -0,688172
1000 -0,692647
10000 -0,693097

n	aₙ	Sₙ
1	$- 1$	-1
2	$\frac{1}{2}$	-0{,}5
3	$- \frac{1}{3}$	-0{,}833333
4	$\frac{1}{4}$	-0{,}583333
5	$- \frac{1}{5}$	-0{,}783333
6	$\frac{1}{6}$	-0{,}616667

N	S_N
10	-0,645635
100	-0,688172
1000	-0,692647
10000	-0,693097

Resultado

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} converge, S \approx - 0, 6931

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Ojo con…

Que los términos tiendan a 0 no alcanza para que la serie converja (∑ 1/n diverge).
La fórmula a/(1 − r) solo vale si |r| < 1, y a es el primer término de la suma.
No confundas la sucesión (los términos) con la serie (la suma).

Sucesiones y series: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Series

Sucesiones

Condición necesaria

Serie geométrica

Serie p

Criterio del cociente

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: sucesión a_n = (2n + 1)/(n + 3)

Escribimos la sucesión y sus primeros términos

Dividimos por la mayor potencia

Comparamos los grados

Concluimos si converge

Estudiamos la monotonía

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: serie ∑_{n=1}^{∞} 1/2^n

Escribimos la serie

Miramos la condición necesaria

Reconocemos una serie geométrica

Verificamos con las sumas parciales

Resultado

Ejemplo 3: serie ∑_{n=1}^{∞} 1/n^2

Escribimos la serie

Miramos la condición necesaria

Reconocemos una serie p

Verificamos con las sumas parciales

Resultado

Ejemplo 4: serie ∑_{n=1}^{∞} n/2^n

Escribimos la serie

Miramos la condición necesaria

Usamos el criterio del cociente

Verificamos con las sumas parciales

Resultado

Ejemplo 5: serie ∑_{n=1}^{∞} (-1)^n/n

Escribimos la serie

Miramos la condición necesaria

Usamos el criterio de Leibniz

Verificamos con las sumas parciales

Resultado

Ojo con…

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