Métodos de integración: ejercicios resueltos paso a paso

Despejamos una incógnita en una ecuación y la reemplazamos en la otra: queda una ecuación con una sola incógnita. Acá tenés 7 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Método de sustitución

Despejamos una incógnita en una ecuación y la reemplazamos en la otra: queda una ecuación con una sola incógnita.

y = 7 - 2 x \Rightarrow x - (7 - 2 x) = 2

Sustitución en integrales

Es la regla de la cadena al revés: si aparece una función y su derivada, la llamamos u y la integral se simplifica.

\int 2 x cos (x^{2}) d x = \int cos u d u

Primitivas

Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

\int 2 x d x = x^{2} + C

Logaritmos

El logaritmo responde: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener el número? Sus propiedades convierten productos en sumas y potencias en productos.

lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y, lo g_{b} x^{n} = n lo g_{b} x

Fracciones

Una fracción indica una división: el denominador dice en cuántas partes iguales se divide y el numerador, cuántas se toman.

\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0, 75

Diferenciales binomias

Chebyshev demostró que ∫ xᵐ(a + bxⁿ)ᵖ dx tiene primitiva elemental solo en tres casos; en cada uno hay un cambio de variable que la convierte en un polinomio.

\frac{m + 1}{n} \in Z \Rightarrow u = a + b x^{n}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∫ x e^x dx por partes

Método: Integración por partes

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int x \cdot e^{x} d x$
Integramos por partes
$\int u d v = u v - \int v d u$ . Elegimos u con la regla ILATE (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales): la que aparece primero es u.
$u = x \Rightarrow d u = 1 d x$
$d v = e^{x} d x \Rightarrow v = e^{x}$
$\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x} + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [x \cdot e^{x} - e^{x} + C] = x \cdot e^{x}$
$x = 0, 37 : 0, 535662 = 0, 535662, x = 0, 81 : 1, 820805 = 1, 820805 ✓$

Resultado

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x} + C

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Ejemplo 2: ∫ e^x sen x dx

Método: Integración por partes

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int e^{x} \cdot sen x d x$
Integramos por partes
$\int u d v = u v - \int v d u$ . Elegimos u con la regla ILATE (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales): la que aparece primero es u.
$u = sen x \Rightarrow d u = cos x d x$
$d v = e^{x} d x \Rightarrow v = e^{x}$
$\int e^{x} \cdot sen x d x = e^{x} \cdot sen x - \int e^{x} \cdot cos x d x$
Aplicamos partes otra vez
$\int u d v = u v - \int v d u$ . Elegimos u con la regla ILATE (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales): la que aparece primero es u.
$u = cos x \Rightarrow d u = - sen x d x$
$d v = e^{x} d x \Rightarrow v = e^{x}$
$\int e^{x} \cdot cos x d x = e^{x} \cdot cos x - \int - e^{x} \cdot sen x d x$
Volvió a aparecer la integral original
Es una integral “cíclica”: la llamamos I, la pasamos al otro miembro y despejamos.
$I = e^{x} \cdot sen x - e^{x} \cdot cos x - I; R i g h t a rro w; I = \frac{1}{2} (e^{x} \cdot sen x - e^{x} \cdot cos x)$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int e^{x} \cdot sen x d x = \frac{1}{2} e^{x} \cdot sen x - \frac{1}{2} e^{x} \cdot cos x + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{x} \cdot sen x - \frac{1}{2} e^{x} \cdot cos x + C] = \frac{1}{2} (e^{x} \cdot sen x + e^{x} \cdot cos x) - \frac{1}{2} (e^{x} \cdot cos x - e^{x} \cdot sen x)$
$x = 0, 37 : 0, 523523 = 0, 523523, x = 0, 81 : 1, 628131 = 1, 628131 ✓$

Resultado

\int e^{x} \cdot sen x d x = \frac{1}{2} e^{x} \cdot sen x - \frac{1}{2} e^{x} \cdot cos x + C

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Ejemplo 3: ∫ (x + 5)/(x^2 + x - 2) dx

Método: Fracciones parciales

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int \frac{x + 5}{x ^{2} + x - 2} d x$
Factorizamos el denominador
Escribimos el denominador como producto de factores lineales (x − r) y cuadráticos sin raíces reales.
$x^{2} + x - 2 = 1 (x - 1) (x + 2)$
Planteamos las fracciones parciales
A cada factor lineal le corresponde A/(x − r) (y una fracción por cada potencia si se repite); a cada cuadrático, (Bx + C)/(x² + px + q). Igualamos numeradores y resolvemos el sistema de los coeficientes.
$\frac{x + 5}{x ^{2} + x - 2} = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$
$A_{1} = 2, A_{2} = - 1$
Integramos cada fracción
Las lineales dan logaritmos (o potencias si están repetidas); las cuadráticas dan un logaritmo más un arco tangente (completando cuadrados).
$\int \frac{2}{x - 1} d x = 2 ln ∣ x - 1 ∣$
$\int - \frac{1}{x + 2} d x = - ln ∣ x + 2 ∣$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int \frac{x + 5}{x ^{2} + x - 2} d x = 2 ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x + 2 ∣ + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [2 ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x + 2 ∣ + C] = \frac{2 x - 2}{( ∣ x - 1 ∣ ) ^{2}} + \frac{- x - 2}{( ∣ x + 2 ∣ ) ^{2}}$
$x = 0, 37 : - 3, 596544 = - 3, 596544, x = 0, 81 : - 10, 882188 = - 10, 882188 ✓$

Resultado

\int \frac{x + 5}{x ^{2} + x - 2} d x = 2 ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x + 2 ∣ + C

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Ejemplo 4: ∫ (3x + 1)/(x^2 + 2x + 5) dx

Método: Fracciones parciales

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} d x$
Factorizamos el denominador
Escribimos el denominador como producto de factores lineales (x − r) y cuadráticos sin raíces reales.
$x^{2} + 2 x + 5 = 1 (x^{2} + 2 x + 5)$
Planteamos las fracciones parciales
A cada factor lineal le corresponde A/(x − r) (y una fracción por cada potencia si se repite); a cada cuadrático, (Bx + C)/(x² + px + q). Igualamos numeradores y resolvemos el sistema de los coeficientes.
$\frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} = \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5}$
$B_{1} = 3, C_{2} = 1$
Integramos cada fracción
Las lineales dan logaritmos (o potencias si están repetidas); las cuadráticas dan un logaritmo más un arco tangente (completando cuadrados).
$\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = \frac{3}{2} ln (x^{2} + 2 x + 5) - arctg (\frac{1}{2} (x + 1))$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = \frac{3}{2} ln (x^{2} + 2 x + 5) - arctg (\frac{1}{2} (x + 1)) + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} ln (x^{2} + 2 x + 5) - arctg (\frac{1}{2} (x + 1)) + C] = \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5}$
$x = 0, 37 : 0, 359033 = 0, 359033, x = 0, 81 : 0, 471406 = 0, 471406 ✓$

Resultado

\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = \frac{3}{2} ln (x^{2} + 2 x + 5) - arctg (\frac{1}{2} (x + 1)) + C

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Ejemplo 5: ∫ √(4 - x^2) dx

Método: Sustitución trigonométrica

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int - x^{2} + 4 d x$
Elegimos la sustitución trigonométrica
La raíz tiene la forma de un lado de un triángulo rectángulo. Usamos x = a·sen θ (para √(a² − x²)), así la raíz se simplifica con una identidad pitagórica.
$x = 2 sen θ, d x = 2 cos θ d θ$
$- x^{2} + 4 = 2 cos θ$
Integramos en θ
Reemplazamos todo y queda una integral trigonométrica.
$\int 4 cos^{2} θ d θ = 4 (\frac{1}{2} θ + \frac{1}{4} sen (2 θ))$
Volvemos a x con el triángulo
Dibujamos el triángulo rectángulo de la sustitución y leemos cada razón en función de x.
$θ = arcsen (\frac{1}{2} x)$
$sen θ = \frac{1}{2} x$
$\Rightarrow 4 (\frac{1}{2} arcsen (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{8} x \cdot - x^{2} + 4)$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int - x^{2} + 4 d x = 2 arcsen (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} x \cdot - x^{2} + 4 + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [2 arcsen (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} x \cdot - x^{2} + 4 + C] = \frac{1}{- \frac{1}{4} x ^{2} + 1} + \frac{1}{2} (- x^{2} + 4 - \frac{x ^{2}}{- x ^{2} + 4})$
$x = 0, 37 : 1, 965477 = 1, 965477, x = 0, 81 : 1, 828633 = 1, 828633 ✓$

Resultado

\int - x^{2} + 4 d x = 2 arcsen (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} x \cdot - x^{2} + 4 + C

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Ejemplo 6: ∫ x cos(x^2) dx

Método: Sustitución (cambio de variable)

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int x \cdot cos (x^{2}) d x$
Hacemos un cambio de variable
Buscamos una parte del integrando cuya derivada también aparezca (multiplicando). La llamamos u y reemplazamos.
$u = x^{2} \Rightarrow d u = 2 x d x$
$\int x \cdot cos (x^{2}) d x = \int \frac{1}{2} cos u d u = \frac{1}{2} sen u$
$volvemos a x : \frac{1}{2} sen (x^{2})$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int x \cdot cos (x^{2}) d x = \frac{1}{2} sen (x^{2}) + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} sen (x^{2}) + C] = x \cdot cos (x^{2})$
$x = 0, 37 : 0, 366538 = 0, 366538, x = 0, 81 : 0, 641826 = 0, 641826 ✓$

Resultado

\int x \cdot cos (x^{2}) d x = \frac{1}{2} sen (x^{2}) + C

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Ejemplo 7: ∫ x^3√(1 + x^2) dx por diferencial binomia

Método: Diferencial binomia

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int x^{3} \cdot x^{2} + 1 d x$
Reconocemos una diferencial binomia
Es de la forma $\int x^{m} (a + b x^{n})^{p} d x$ . Por el teorema de Chebyshev se puede integrar si p, (m+1)/n o (m+1)/n + p es entero.
$m = 3, n = 2, p = \frac{1}{2}, a = 1, b = 1$
$\frac{m + 1}{n} = 2, \frac{m + 1}{n} + p = \frac{5}{2}$
Caso (m + 1)/n entero
Hacemos el cambio u = a + b xⁿ: entonces xⁿ⁻¹dx = du/(n b) y el resto de las x se escribe con u.
$u = x^{2} + 1$
$\int \frac{1}{2} u \cdot (u - 1) d u = \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int x^{3} \cdot x^{2} + 1 d x = \frac{1}{5} (x^{2} + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}} + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}} + C] = x \cdot (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}} - x \cdot x^{2} + 1$
$x = 0, 37 : 0, 054009 = 0, 054009, x = 0, 81 : 0, 683909 = 0, 683909 ✓$

Resultado

\int x^{3} \cdot x^{2} + 1 d x = \frac{1}{5} (x^{2} + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}} + C

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Ojo con…

En la sustitución, cambiá también el dx.
En partes, elegí u con la regla ILATE; si la integral se complica, probá al revés.

Métodos de integración: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Método de sustitución

Sustitución en integrales

Primitivas

Logaritmos

Fracciones

Diferenciales binomias

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∫ x e^x dx por partes

Escribimos la integral

Integramos por partes

Escribimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: ∫ e^x sen x dx

Escribimos la integral

Integramos por partes

Aplicamos partes otra vez

Volvió a aparecer la integral original

Escribimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: ∫ (x + 5)/(x^2 + x - 2) dx

Escribimos la integral

Factorizamos el denominador

Planteamos las fracciones parciales

Integramos cada fracción

Escribimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: ∫ (3x + 1)/(x^2 + 2x + 5) dx

Escribimos la integral

Factorizamos el denominador

Planteamos las fracciones parciales

Integramos cada fracción

Escribimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: ∫ √(4 - x^2) dx

Escribimos la integral

Elegimos la sustitución trigonométrica

Integramos en θ

Volvemos a x con el triángulo

Escribimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: ∫ x cos(x^2) dx

Escribimos la integral

Hacemos un cambio de variable

Escribimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ejemplo 7: ∫ x^3√(1 + x^2) dx por diferencial binomia

Escribimos la integral

Reconocemos una diferencial binomia

Caso (m + 1)/n entero

Escribimos el resultado

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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