Ecuaciones diferenciales: ejercicios resueltos paso a paso

Relacionan una función con su derivada. Resolverla es encontrar todas las funciones que la cumplen (por eso aparece una constante C). Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Ecuaciones diferenciales

Relacionan una función con su derivada. Resolverla es encontrar todas las funciones que la cumplen (por eso aparece una constante C).

y^{'} = 2 x \Rightarrow y = x^{2} + C

Ecuación lineal

En y' + p·y = q se multiplica por μ = e^{∫p}: el primer miembro se convierte en la derivada de μ·y.

(μ y)^{'} = μ q

Variables separables

Si y' = f(x)·g(y), se juntan las y con dy y las x con dx, y se integra cada lado.

\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x

Condición inicial

Entre todas las soluciones (una para cada C), la condición inicial elige la que pasa por un punto dado.

y (0) = 2 \Rightarrow C = 2

Curva solución

Cada valor de C da una curva distinta; la condición inicial fija la que pasa por el punto.

y = C e^{3 x}

Raíces

Una raíz se puede simplificar sacando los factores que tienen exponente igual al índice. Para racionalizar multiplicamos arriba y abajo por lo que hace desaparecer la raíz del denominador.

72 = 36 \cdot 2 = 62

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: y' = 3y, y(0) = 2

Método: Variables separables

Escribimos la ecuación
Una ecuación diferencial relaciona una función y(x) con su derivada. La dejamos en la forma y' = F(x, y).
$y^{'} = 3 y$
Separamos las variables
La ecuación es de la forma y' = f(x)·g(y): pasamos todo lo que tiene y con dy y todo lo que tiene x con dx.
$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot y$
$\frac{d y}{y} = 3 d x$
Integramos los dos miembros
Integramos cada lado respecto de su variable y agregamos una sola constante C.
$\int \frac{d y}{y} = \int 3 d x \Rightarrow ln ∣ y ∣ = 3 x + C$
Despejamos y
Aplicamos la exponencial a ambos miembros (la constante $e^{C}$ , con su signo, se renombra C) y despejamos y.
$y = C e^{3 x}$
$y = C \cdot e^{3 x}$
Usamos la condición inicial
Reemplazamos x = 0 e y = 2 para encontrar C.
$2 = C \cdot e^{3 \cdot (0)} \Rightarrow C = 2$
$y = 2 e^{3 x}$
Verificamos
Derivamos la solución y la reemplazamos en la ecuación: y' tiene que ser igual a F(x, y) y tiene que cumplirse la condición inicial.
$y^{'} - F (x, y) \approx 0 ✓$
$y (0) = 2 = 2 ✓$
Lo vemos en el gráfico
La curva solución pasa por el punto de la condición inicial.

Resultado

y = 2 e^{3 x}

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Ejemplo 2: y' = 2xy

Método: Variables separables

Escribimos la ecuación
Una ecuación diferencial relaciona una función y(x) con su derivada. La dejamos en la forma y' = F(x, y).
$y^{'} = 2 x \cdot y$
Separamos las variables
La ecuación es de la forma y' = f(x)·g(y): pasamos todo lo que tiene y con dy y todo lo que tiene x con dx.
$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot y$
$\frac{d y}{y} = 2 x d x$
Integramos los dos miembros
Integramos cada lado respecto de su variable y agregamos una sola constante C.
$\int \frac{d y}{y} = \int 2 x d x \Rightarrow ln ∣ y ∣ = x^{2} + C$
Despejamos y
Aplicamos la exponencial a ambos miembros (la constante $e^{C}$ , con su signo, se renombra C) y despejamos y.
$y = C e^{x^{2}}$
$y = C \cdot e^{x^{2}}$
Verificamos
Derivamos la solución y la reemplazamos en la ecuación: y' tiene que ser igual a F(x, y) (para cualquier valor de C).
$y^{'} - F (x, y) \approx 0 ✓$

Resultado

y = C \cdot e^{x^{2}}

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Ejemplo 3: y' + 2y = 4, y(0) = 1

Método: Variables separables

Escribimos la ecuación
Una ecuación diferencial relaciona una función y(x) con su derivada. La dejamos en la forma y' = F(x, y).
$y^{'} = - (2 y - 4)$
Separamos las variables
La ecuación es de la forma y' = f(x)·g(y): pasamos todo lo que tiene y con dy y todo lo que tiene x con dx.
$\frac{d y}{d x} = (- 1) \cdot (2 y - 4)$
$\frac{d y}{2 y - 4} = - 1 d x$
Integramos los dos miembros
Integramos cada lado respecto de su variable y agregamos una sola constante C.
$\int \frac{d y}{2 y - 4} = \int (- 1) d x \Rightarrow \frac{1}{2} ln ∣ 2 y - 4 ∣ = - x + C$
Despejamos y
Aplicamos la exponencial a ambos miembros (la constante $e^{C}$ , con su signo, se renombra C) y despejamos y.
$2 y - 4 = C e^{- 2 x}$
$y = \frac{1}{2} (C \cdot e^{- 2 x} + 4)$
Usamos la condición inicial
Reemplazamos x = 0 e y = 1 para encontrar C.
$1 = \frac{1}{2} (C \cdot e^{- 2 \cdot (0)} + 4) \Rightarrow C = - 2$
$y = - e^{- 2 x} + 2$
Verificamos
Derivamos la solución y la reemplazamos en la ecuación: y' tiene que ser igual a F(x, y) y tiene que cumplirse la condición inicial.
$y^{'} - F (x, y) \approx 0 ✓$
$y (0) = 1 = 1 ✓$
Lo vemos en el gráfico
La curva solución pasa por el punto de la condición inicial.

Resultado

y = - e^{- 2 x} + 2

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Ejemplo 4: dy/dx = x/y

Método: Variables separables

Escribimos la ecuación
Una ecuación diferencial relaciona una función y(x) con su derivada. La dejamos en la forma y' = F(x, y).
$y^{'} = \frac{x}{y}$
Separamos las variables
La ecuación es de la forma y' = f(x)·g(y): pasamos todo lo que tiene y con dy y todo lo que tiene x con dx.
$\frac{d y}{d x} = x \cdot \frac{1}{y}$
$\frac{d y}{\frac{1}{y}} = x d x$
Integramos los dos miembros
Integramos cada lado respecto de su variable y agregamos una sola constante C.
$\int \frac{d y}{\frac{1}{y}} = \int x d x \Rightarrow \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + C$
Despejamos y
Dividimos por el coeficiente y sacamos la raíz (o elevamos) para dejar y sola. Tomamos la raíz positiva; también vale la negativa.
$y = x^{2} + 2 C$
Verificamos
Derivamos la solución y la reemplazamos en la ecuación: y' tiene que ser igual a F(x, y) (para cualquier valor de C).
$y^{'} - F (x, y) \approx 0 ✓$

Resultado

y = x^{2} + 2 C

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Ejemplo 5: y' + y/x = x^2

Método: Lineal (factor integrante)

Escribimos la ecuación
Una ecuación diferencial relaciona una función y(x) con su derivada. La dejamos en la forma y' = F(x, y).
$y^{'} = - (\frac{y}{x} - x^{2})$
Reconocemos una ecuación lineal
Se puede escribir como y' + p(x)·y = q(x).
$y^{'} + \frac{1}{x} y = x^{2}$
Calculamos el factor integrante
Multiplicando por μ(x) = e^{∫p dx}, el primer miembro queda igual a la derivada de μ·y.
$μ (x) = e^{\int \frac{1}{x} d x} = x$
$(μ y)^{'} = μ q$
Integramos y despejamos
Integramos los dos miembros y dividimos por μ(x).
$x y = \int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} + C$
$y = \frac{\frac{1}{4} x ^{4} + C}{x}$
Verificamos
Derivamos la solución y la reemplazamos en la ecuación: y' tiene que ser igual a F(x, y) (para cualquier valor de C).
$y^{'} - F (x, y) \approx 0 ✓$

Resultado

y = \frac{\frac{1}{4} x ^{4} + C}{x}

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Ojo con…

No te olvides de la constante C al integrar: la solución general tiene infinitas curvas.
Al separar variables, todo lo que tiene y va con dy y todo lo que tiene x con dx.
Verificá derivando la solución y reemplazando en la ecuación.

Ecuaciones diferenciales: ejercicios resueltos paso a paso

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