Soluciones y tablas: ejercicios resueltos paso a paso

Integrar es buscar una función cuya derivada sea la dada. Cada fórmula de la tabla es una derivada leída al revés. Acá tenés 2 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Integrales inmediatas

Integrar es buscar una función cuya derivada sea la dada. Cada fórmula de la tabla es una derivada leída al revés.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Paso intermedio

Este paso conecta el anterior con el siguiente. Si te cuesta seguirlo, probá hacer la misma cuenta con números más simples.

simplificar \to entender

Primitivas

Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

\int 2 x d x = x^{2} + C

Sumatorias

Σ es una forma corta de escribir sumas largas. Las constantes salen afuera y la suma de una suma se separa.

i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: tabla de integrales

Método: Tablas de referencia

Tabla de integrales inmediatas

A todas se les suma la constante C. Si el argumento es ax + b, se divide por a.

f(x)	∫ f(x) dx
$x^{n}$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} (n \neq = - 1) + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{l n a} + C$
$sen x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sen x + C$
$tg x$	$- ln ∣ cos x ∣ + C$
$cotg x$	$ln ∣ sen x ∣ + C$
$sec x$	$ln ∣ sec x + tg x ∣ + C$
$cosec x$	$ln ∣ cosec x - cotg x ∣ + C$
$sec^{2} x$	$tg x + C$
$cosec^{2} x$	$- cotg x + C$
$sec x tg x$	$sec x + C$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctg x + C$
$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsen x + C$
$\frac{1}{a ^{2} + x ^{2}}$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$
$\frac{1}{x ^{2} \pm a ^{2}}$	$ln x + x^{2} \pm a^{2} + C$

Integrales trigonométricas: qué hacer

Según las potencias de seno y coseno.

Caso	Estrategia
sen impar	Guardar un sen, el resto a cos, w = cos u
cos impar	Guardar un cos, el resto a sen, w = sen u
las dos pares	Ángulo doble: sen² = (1 − cos 2u)/2, cos² = (1 + cos 2u)/2
tgⁿ, cotgⁿ	tg² = sec² − 1 (fórmula de reducción)
secⁿ, cosecⁿ	Fórmula de reducción (por partes)

Métodos de integración: cuándo usar cada uno

Una guía rápida para elegir el método.

Si aparece…	Método
una función y su derivada	Sustitución u = g(x)
producto de tipos distintos (x·eˣ, x·sen x, ln x)	Partes (regla ILATE)
cociente de polinomios	Fracciones parciales
√(a² − x²), √(a² + x²), √(x² − a²)	Sustitución trigonométrica
xᵐ(a + bxⁿ)ᵖ con p fraccionario	Diferencial binomia (Chebyshev)

Fórmulas de sumas
Para sumatorias y sumas de Riemann.
$i = 1 \sum n 1 = n$
$i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
$i = 1 \sum n i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$
$i = 1 \sum n i^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}$
Aplicaciones de la integral
Fórmulas principales.
$A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$
$V_{discos} = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x$
$V_{arandelas} = π \int_{a}^{b} (R^{2} - r^{2}) d x$
$V_{capas} = 2 π \int_{a}^{b} x h (x) d x$
$L = \int_{a}^{b} 1 + f^{'} (x)^{2} d x$
Verificamos
Derivamos cada primitiva de la tabla de inmediatas (con ejemplos concretos) y comprobamos que vuelve la función original.
$17 de 17 f \overset{o}{ˊ} rmulas comprobadas ✓$

Resultado

Tablas de integrales, sumas y aplicaciones

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: tabla de integrales inmediatas

Método: Tablas de referencia

Tabla de integrales inmediatas

A todas se les suma la constante C. Si el argumento es ax + b, se divide por a.

f(x)	∫ f(x) dx
$x^{n}$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} (n \neq = - 1) + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{l n a} + C$
$sen x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sen x + C$
$tg x$	$- ln ∣ cos x ∣ + C$
$cotg x$	$ln ∣ sen x ∣ + C$
$sec x$	$ln ∣ sec x + tg x ∣ + C$
$cosec x$	$ln ∣ cosec x - cotg x ∣ + C$
$sec^{2} x$	$tg x + C$
$cosec^{2} x$	$- cotg x + C$
$sec x tg x$	$sec x + C$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctg x + C$
$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsen x + C$
$\frac{1}{a ^{2} + x ^{2}}$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$
$\frac{1}{x ^{2} \pm a ^{2}}$	$ln x + x^{2} \pm a^{2} + C$

Verificamos
Derivamos cada primitiva de la tabla de inmediatas (con ejemplos concretos) y comprobamos que vuelve la función original.
$17 de 17 f \overset{o}{ˊ} rmulas comprobadas ✓$

Resultado

Tablas de integrales, sumas y aplicaciones

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

No te olvides de la constante + C en las integrales indefinidas.
Verificá derivando el resultado.

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Integrales inmediatas

Paso intermedio

Primitivas

Sumatorias

Propiedades de las potencias

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: tabla de integrales

Tabla de integrales inmediatas

Integrales trigonométricas: qué hacer

Métodos de integración: cuándo usar cada uno

Fórmulas de sumas

Aplicaciones de la integral

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: tabla de integrales inmediatas

Tabla de integrales inmediatas

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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