Aplicaciones de la integral: ejercicios resueltos paso a paso

Integrar es buscar una función cuya derivada sea la dada. Cada fórmula de la tabla es una derivada leída al revés. Acá tenés 7 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Integrales inmediatas

Integrar es buscar una función cuya derivada sea la dada. Cada fórmula de la tabla es una derivada leída al revés.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Área con integrales

Sumamos infinitos rectángulos de altura (arriba − abajo) y ancho dx. Si la curva cruza el eje, separamos los tramos para que no se resten áreas.

A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

Regla de Barrow

La integral definida es la acumulación del cambio: alcanza con calcular la primitiva en los extremos y restar.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Aproximación lineal

Cerca de un punto, la curva y su recta tangente casi coinciden: por eso se puede aproximar f(a + Δx) con f(a) + f′(a)·Δx.

4, 1 \approx 2 + \frac{1}{4} \cdot 0, 1 = 2, 025

Volúmenes de revolución

El sólido se corta en rebanadas finitas: discos (o arandelas) si cortamos perpendicular al eje, o capas cilíndricas si cortamos paralelo. Se suman sus volúmenes con una integral.

V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x

Primitivas

Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

\int 2 x d x = x^{2} + C

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∫_0^π sen x dx

Método: Regla de Barrow

Escribimos la integral definida
La integral definida da un número: el área con signo entre la curva y el eje x, de a hasta b.
$\int_{0}^{π} sen x d x$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int sen u d u = - cos u$
$\int sen x d x = - cos x$
Buscamos una primitiva
Para la integral definida alcanza con una primitiva cualquiera (la constante C se cancela al restar).
$F (x) = - cos x$
Aplicamos la regla de Barrow
Calculamos F en el límite de arriba menos F en el de abajo: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
$- cos x ∣_{0}^{π}$
$F (π) - F (0) = 1 - (- 1) = 2$
Verificamos
Aproximamos la integral numéricamente con la regla de Simpson (muchos trapecios curvos).
$Simpson \approx 2 ✓$

Resultado

\int_{0}^{π} sen x d x = 2

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Ejemplo 2: área entre f(x) = x^2 y g(x) = x

Método: Área entre curvas

Buscamos los puntos de corte
Igualamos las dos funciones: ahí empieza y termina la región.
$x^{2} = x \Rightarrow x = 0, 1$
Planteamos el área
El área es la integral de (función de arriba − función de abajo). Si en algún tramo se invierten, partimos la integral y tomamos valor absoluto.
$A = \int_{0}^{1} x^{2} - x d x$
Integramos
Usamos una primitiva de la diferencia y la regla de Barrow en cada tramo.
$F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$
$\int_{0}^{1} (x^{2} - x) d x = - \frac{1}{6}$
Sumamos los tramos
Cada tramo aporta su valor absoluto (el área nunca es negativa).
$A = - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
Verificamos
Aproximamos numéricamente la integral del valor absoluto con Simpson.
$A \approx 0, 166667 ✓$

Resultado

A = \frac{1}{6}

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Ejemplo 3: volumen al girar f(x) = √x entre x = 0 y x = 4 alrededor del eje x

Método: Método de discos

Elegimos el método de discos
Al girar alrededor del eje x, cada corte perpendicular es un disco de radio f(x) y espesor dx: su volumen es π·f(x)²·dx.
$V = π \int_{0}^{4} (x)^{2} d x$
Lo vemos en el gráfico
Esta es la región que gira.
Integramos
Calculamos la integral con una primitiva y la regla de Barrow.
$\int x d x = \frac{1}{2} x^{2}$
$\frac{1}{2} x^{2}_{0}^{4} = 8$
Multiplicamos por π
Ese factor viene de la fórmula del método.
$V = π \cdot 8 = 8 π \approx 25, 132741$
Verificamos
Aproximamos la integral con la regla de Simpson.
$V \approx 25, 132741 ✓$

Resultado

V = 8 π \approx 25, 132741

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Ejemplo 4: volumen por arandelas entre f(x) = x y g(x) = x^2 alrededor del eje x

Método: Método de arandelas

Elegimos el método de arandelas
Al girar la región entre dos curvas alrededor del eje x, cada corte es una arandela (un disco con un agujero): radio exterior R(x) y radio interior r(x).
$V = π \int_{0}^{1} [(x)^{2} - (x^{2})^{2}] d x$
Lo vemos en el gráfico
Esta es la región que gira.
Integramos
Calculamos la integral con una primitiva y la regla de Barrow.
$\int (- x^{4} + x^{2}) d x = - \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$
$- \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}_{0}^{1} = \frac{2}{15}$
Multiplicamos por π
Ese factor viene de la fórmula del método.
$V = π \cdot \frac{2}{15} = \frac{2}{15} π \approx 0, 418879$
Verificamos
Aproximamos la integral con la regla de Simpson.
$V \approx 0, 418879 ✓$

Resultado

V = \frac{2}{15} π \approx 0, 418879

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Ejemplo 5: volumen por capas al girar f(x) = x^2 entre x = 0 y x = 2 alrededor del eje y

Método: Método de capas (cilindros)

Elegimos el método de capas
Giramos alrededor del eje y: cada franja vertical de ancho dx forma un cilindro hueco de radio x, altura h(x) y espesor dx. Su volumen es 2π·x·h(x)·dx.
$V = 2 π \int_{0}^{2} x (x^{2}) d x$
Lo vemos en el gráfico
Esta es la región que gira.
Integramos
Calculamos la integral con una primitiva y la regla de Barrow.
$\int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4}$
$\frac{1}{4} x^{4}_{0}^{2} = 4$
Multiplicamos por 2π
Ese factor viene de la fórmula del método.
$V = 2 π \cdot 4 = 8 π \approx 25, 132741$
Verificamos
Aproximamos la integral con la regla de Simpson.
$V \approx 25, 132741 ✓$

Resultado

V = 8 π \approx 25, 132741

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Ejemplo 6: longitud de arco de f(x) = x^(3/2) entre x = 0 y x = 4

Método: Longitud de arco

Escribimos la fórmula
La longitud de una curva y = f(x) entre a y b es $L = \int_{a}^{b} 1 + [f^{'} (x)]^{2} d x$ (sumamos hipotenusas de triangulitos).
$f^{'} (x) = \frac{3}{2} x$
$L = \int_{0}^{4} \frac{9}{4} x + 1 d x$
Integramos
Buscamos una primitiva y aplicamos Barrow.
$F (x) = \frac{8}{27} (\frac{9}{4} x + 1)^{\frac{3}{2}}$
$L = F (4) - F (0) = \frac{8}{27} \cdot 10^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{27} \approx 9, 073415$
Verificamos
Aproximamos la curva con una poligonal de 2000 segmentos y sumamos sus longitudes.
$L \approx 9, 073415 ✓$

Resultado

L = \frac{8}{27} \cdot 10^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{27} \approx 9, 073415

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Ejemplo 7: f'(x) = 3x^2 + 2, f(1) = 5

Método: Constante de integración

Planteamos
Integrando la derivada recuperamos la función, pero aparece una constante C. El dato del punto sirve para calcularla.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$
Integramos y calculamos C
Integramos para obtener f(x) = F(x) + C y usamos f(1) = 5.
$f (x) = x^{3} + 2 x + C$
$f (1) = 3 + C = 5 \Rightarrow C = 2$
$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$
Verificamos
Comprobamos el dato del punto y que la derivada coincida.
$f (1) = 5 ✓$
$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 ✓$

Resultado

f (x) = x^{3} + 2 x + 2

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Ojo con…

El área no puede ser negativa: si la función cruza el eje, separá los tramos.
En la integral definida no va + C: se aplica Barrow.

Aplicaciones de la integral: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Integrales inmediatas

Área con integrales

Regla de Barrow

Aproximación lineal

Volúmenes de revolución

Primitivas

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∫_0^π sen x dx

Escribimos la integral definida

Usamos la tabla de integrales

Buscamos una primitiva

Aplicamos la regla de Barrow

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: área entre f(x) = x^2 y g(x) = x

Buscamos los puntos de corte

Planteamos el área

Integramos

Sumamos los tramos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: volumen al girar f(x) = √x entre x = 0 y x = 4 alrededor del eje x

Elegimos el método de discos

Lo vemos en el gráfico

Integramos

Multiplicamos por π

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: volumen por arandelas entre f(x) = x y g(x) = x^2 alrededor del eje x

Elegimos el método de arandelas

Lo vemos en el gráfico

Integramos

Multiplicamos por π

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: volumen por capas al girar f(x) = x^2 entre x = 0 y x = 2 alrededor del eje y

Elegimos el método de capas

Lo vemos en el gráfico

Integramos

Multiplicamos por 2π

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: longitud de arco de f(x) = x^(3/2) entre x = 0 y x = 4

Escribimos la fórmula

Integramos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 7: f'(x) = 3x^2 + 2, f(1) = 5

Planteamos

Integramos y calculamos C

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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