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Integrales trigonométricas: ejercicios resueltos paso a paso

Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C. Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Primitivas

Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

\int 2 x d x = x^{2} + C

Método de reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números convenientes para que, al sumarlas, una incógnita se cancele.

(x + y = 5) + (x - y = 1) \Rightarrow 2 x = 6

Propiedades de las potencias

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes; al dividir, se restan; una potencia de potencia multiplica los exponentes. Un exponente negativo es el inverso.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∫ sen^3 x dx

Método: Integral trigonométrica

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int sen^{3} x d x$
Identificamos una integral trigonométrica
Es de la forma $\int sen^{m} u cos^{n} u d u$ con m = 3 y n = 0. El método depende de si las potencias son pares o impares.
$\int sen^{3} x d x$
Separamos un seno (potencia impar)
Guardamos un sen para el diferencial, pasamos el resto a coseno con $sen^{2} = 1 - cos^{2}$ y sustituimos w = cos u (dw = −sen u du).
$w = cos x : - \int (- w^{2} + 1) d w$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int sen^{3} x d x = \frac{1}{3} cos^{3} x - cos x + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} cos^{3} x - cos x + C] = - cos^{2} x \cdot sen x + sen x$
$x = 0, 37 : 0, 047287 = 0, 047287, x = 0, 81 : 0, 379955 = 0, 379955 ✓$

Resultado

\int sen^{3} x d x = \frac{1}{3} cos^{3} x - cos x + C

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: ∫ sen^2 x cos^2 x dx

Método: Integral trigonométrica

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int sen^{2} x \cdot cos^{2} x d x$
Identificamos una integral trigonométrica
Es de la forma $\int sen^{m} u cos^{n} u d u$ con m = 2 y n = 2. El método depende de si las potencias son pares o impares.
$\int sen^{2} x \cdot cos^{2} x d x$
Usamos las fórmulas del ángulo doble (potencias pares)
Reemplazamos $sen^{2} u = \frac{1 - c o s 2 u}{2}$ y $cos^{2} u = \frac{1 + c o s 2 u}{2}$ , y desarrollamos.
$sen^{2} x \cdot cos^{2} x = - \frac{1}{4} cos^{2} (2 x) + \frac{1}{4}$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int sen^{2} x \cdot cos^{2} x d x = \frac{1}{8} x - \frac{1}{32} sen (4 x) + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} sen (4 x) + C] = - \frac{1}{8} cos (4 x) + \frac{1}{8}$
$x = 0, 37 : 0, 113666 = 0, 113666, x = 0, 81 : 0, 249395 = 0, 249395 ✓$

Resultado

\int sen^{2} x \cdot cos^{2} x d x = \frac{1}{8} x - \frac{1}{32} sen (4 x) + C

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: ∫ cos^4 x dx

Método: Integral trigonométrica

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int cos^{4} x d x$
Identificamos una integral trigonométrica
Es de la forma $\int sen^{m} u cos^{n} u d u$ con m = 0 y n = 4. El método depende de si las potencias son pares o impares.
$\int cos^{4} x d x$
Usamos las fórmulas del ángulo doble (potencias pares)
Reemplazamos $sen^{2} u = \frac{1 - c o s 2 u}{2}$ y $cos^{2} u = \frac{1 + c o s 2 u}{2}$ , y desarrollamos.
$cos^{4} x = \frac{1}{4} cos^{2} (2 x) + \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{4}$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int cos^{4} x d x = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} sen (2 x) + \frac{1}{32} sen (4 x) + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{3}{8} x + \frac{1}{4} sen (2 x) + \frac{1}{32} sen (4 x) + C] = \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{8} cos (4 x) + \frac{3}{8}$
$x = 0, 37 : 0, 755568 = 0, 755568, x = 0, 81 : 0, 226013 = 0, 226013 ✓$

Resultado

\int cos^{4} x d x = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} sen (2 x) + \frac{1}{32} sen (4 x) + C

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Ejemplo 4: ∫ tg^3 x dx

Método: Integral trigonométrica

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int tg^{3} x d x$
Reducimos la potencia de la tangente
Usamos $tg^{2} u = sec^{2} u - 1$ : queda $\int tg^{n} u d u = \frac{tg ^{n - 1} u}{n - 1} - \int tg^{n - 2} u d u$ .
$n = 3$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int tg^{3} x d x = \frac{1}{2} tg^{2} x + ln ∣ cos x ∣ + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} tg^{2} x + ln ∣ cos x ∣ + C] = \frac{tg x}{cos ^{2} x} - \frac{cos x \cdot sen x}{( ∣ cos x ∣ ) ^{2}}$
$x = 0, 37 : 0, 058349 = 0, 058349, x = 0, 81 : 1, 159131 = 1, 159131 ✓$

Resultado

\int tg^{3} x d x = \frac{1}{2} tg^{2} x + ln ∣ cos x ∣ + C

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Ejemplo 5: ∫ sec^3 x dx

Método: Integral trigonométrica

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int sec^{3} x d x$
Usamos la fórmula de reducción de la secante
Por partes se obtiene $\int sec^{n} u d u = \frac{s e c ^{n - 2} u tg u}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1} \int sec^{n - 2} u d u$ .
$n = 3$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int sec^{3} x d x = \frac{1}{2} sec x \cdot tg x + \frac{1}{2} ln ∣ sec x + tg x ∣ + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} sec x \cdot tg x + \frac{1}{2} ln ∣ sec x + tg x ∣ + C] = \frac{1}{2} (\frac{sen x \cdot tg x}{cos ^{2} x} + \frac{sec x}{cos ^{2} x}) + \frac{\frac{1}{2} ( sec x + tg x ) \cdot ( \frac{sen x}{c o s ^{2} x} + \frac{1}{c o s ^{2} x} )}{( ∣ sec x + tg x ∣ ) ^{2}}$
$x = 0, 37 : 1, 233942 = 1, 233942, x = 0, 81 : 3, 050705 = 3, 050705 ✓$

Resultado

\int sec^{3} x d x = \frac{1}{2} sec x \cdot tg x + \frac{1}{2} ln ∣ sec x + tg x ∣ + C

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Ejemplo 6: ∫ sen^5 x cos^2 x dx

Método: Integral trigonométrica

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int sen^{5} x \cdot cos^{2} x d x$
Identificamos una integral trigonométrica
Es de la forma $\int sen^{m} u cos^{n} u d u$ con m = 5 y n = 2. El método depende de si las potencias son pares o impares.
$\int sen^{5} x \cdot cos^{2} x d x$
Separamos un seno (potencia impar)
Guardamos un sen para el diferencial, pasamos el resto a coseno con $sen^{2} = 1 - cos^{2}$ y sustituimos w = cos u (dw = −sen u du).
$w = cos x : - \int w^{2} \cdot (- w^{2} + 1)^{2} d w$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int sen^{5} x \cdot cos^{2} x d x = - \frac{1}{7} cos^{7} x + \frac{2}{5} cos^{5} x - \frac{1}{3} cos^{3} x + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{7} cos^{7} x + \frac{2}{5} cos^{5} x - \frac{1}{3} cos^{3} x + C] = cos^{6} x \cdot sen x - 2 cos^{4} x \cdot sen x + cos^{2} x \cdot sen x$
$x = 0, 37 : 0, 005375 = 0, 005375, x = 0, 81 : 0, 094759 = 0, 094759 ✓$

Resultado

\int sen^{5} x \cdot cos^{2} x d x = - \frac{1}{7} cos^{7} x + \frac{2}{5} cos^{5} x - \frac{1}{3} cos^{3} x + C

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Ojo con…

∫sen x dx = −cos x: el signo menos aparece en la integral del seno.
Con potencias pares conviene usar las fórmulas del ángulo doble.

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