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Integrales inmediatas: ejercicios resueltos paso a paso

Integrar es buscar una función cuya derivada sea la dada. Cada fórmula de la tabla es una derivada leída al revés. Acá tenés 5 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Integrales inmediatas

Integrar es buscar una función cuya derivada sea la dada. Cada fórmula de la tabla es una derivada leída al revés.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Primitivas

Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

\int 2 x d x = x^{2} + C

Fracciones

Una fracción indica una división: el denominador dice en cuántas partes iguales se divide y el numerador, cuántas se toman.

\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0, 75

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ∫ (3x^2 - 4x + 5) dx

Método: Integrales inmediatas

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} (n \neq = - 1)$
$\int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3}$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}$
$\int x d x = \frac{1}{2} x^{2}$
Separamos en una suma de integrales
La integral de una suma es la suma de las integrales (propiedad lineal). Integramos cada término.
$\int 3 x^{2} d x = x^{3}$
$\int - 4 x d x = - 2 x^{2}$
$\int 5 d x = 5 x$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C] = 3 x^{2} - 4 x + 5$
$x = 0, 37 : 3, 9307 = 3, 9307, x = 0, 81 : 3, 7283 = 3, 7283 ✓$

Resultado

\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 2: ∫ (x^2 + 1)/x dx

Método: Integrales inmediatas

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}$
$\int x d x = \frac{1}{2} x^{2}$
Dividimos los polinomios
El grado del numerador no es menor que el del denominador: primero dividimos. Queda cociente + resto/divisor.
$\frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int \frac{d u}{u} = ln ∣ u ∣$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} + ln ∣ x ∣ + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} + ln ∣ x ∣ + C] = x + \frac{x}{( ∣ x ∣ ) ^{2}}$
$x = 0, 37 : 3, 072703 = 3, 072703, x = 0, 81 : 2, 044568 = 2, 044568 ✓$

Resultado

\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} + ln ∣ x ∣ + C

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 3: ∫ (2x + 3)^5 dx

Método: Integrales inmediatas

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int (2 x + 3)^{5} d x$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} (n \neq = - 1) (y dividimos por 2)$
$\int (2 x + 3)^{5} d x = \frac{1}{12} (2 x + 3)^{6}$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int (2 x + 3)^{5} d x = \frac{1}{12} (2 x + 3)^{6} + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} (2 x + 3)^{6} + C] = (2 x + 3)^{5}$
$x = 0, 37 : 731, 742047 = 731, 742047, x = 0, 81 : 2104, 79536 = 2104, 79536 ✓$

Resultado

\int (2 x + 3)^{5} d x = \frac{1}{12} (2 x + 3)^{6} + C

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Ejemplo 4: ∫ 1/(x^2 + 9) dx

Método: Integrales inmediatas

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int \frac{1}{x ^{2} + 9} d x$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int \frac{d x}{c + d x ^{2}} = \frac{1}{c d} arctg (\frac{d}{c} x)$
$\int \frac{1}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{3} arctg (\frac{1}{3} x)$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int \frac{1}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{3} arctg (\frac{1}{3} x) + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} arctg (\frac{1}{3} x) + C] = \frac{1}{x ^{2} + 9}$
$x = 0, 37 : 0, 109446 = 0, 109446, x = 0, 81 : 0, 103561 = 0, 103561 ✓$

Resultado

\int \frac{1}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{3} arctg (\frac{1}{3} x) + C

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ejemplo 5: ∫ 3^x dx

Método: Integrales inmediatas

Escribimos la integral
Buscamos una función F(x) cuya derivada sea el integrando: F'(x) = f(x). Esa F se llama antiderivada o primitiva.
$\int 3^{x} d x$
Usamos la tabla de integrales
Es una integral inmediata (o con argumento lineal: después dividimos por el coeficiente de x).
$\int a^{u} d u = \frac{a ^{u}}{ln a}$
$\int 3^{x} d x = \frac{3 ^{x}}{ln 3}$
Escribimos el resultado
La antiderivada no es única: si F sirve, también sirve F + C para cualquier constante C (porque la derivada de una constante es 0).
$\int 3^{x} d x = \frac{3 ^{x}}{ln 3} + C$
Verificamos
Derivamos el resultado: tiene que dar la función que integramos (la derivada de C es 0).
$\frac{d}{d x} [\frac{3 ^{x}}{ln 3} + C] = 3^{x}$
$x = 0, 37 : 1, 501533 = 1, 501533, x = 0, 81 : 2, 434828 = 2, 434828 ✓$

Resultado

\int 3^{x} d x = \frac{3 ^{x}}{ln 3} + C

Abrir en la calculadora (con pistas y comprobación)

Ojo con…

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) sirve si n ≠ −1; para 1/x es ln|x|.
Si el argumento es ax + b, hay que dividir por a.

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